Leeb Что такое "петля-коммутатор"? (гугл выдает только результаты о сетевых коммутаторов)
Петли - это элементы фундаментальной группы какого-то пространства (в нашем случае пространство это дополнение

, т.е.

с выкинутым набором

стандартно вложенных окружностей). Данная группа представляет собой свободную группу с

образующей, и

-я образующая этой группы представляет собой класс окружности, зацепленную с

(

-й окружностью набора). Коммутатор любых двух элементов группы это
![$[x,y] = xyx^{-1}y^{-1} $ $[x,y] = xyx^{-1}y^{-1} $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/8/4/f84b4579017df91713566f4122d9825e82.png)
. Обратный элемент в фундаментальной группе к данному элементу

- это петля

, пройденная в обратном направлении. Соответственно, будем строить такое семейство коммутаторов (здесь и далее

- образующие группы дополнения):
![$n=3:\ C_3=[a_1,a_2] = a_1a_2a_1^{-1}a_2^{-1}$ $n=3:\ C_3=[a_1,a_2] = a_1a_2a_1^{-1}a_2^{-1}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/0/8/008e2a61b1659ad45b0efa07d35c4f8182.png)
;
![$n-4:\ C_4=[[a_1,a_2],a_3]=[C_3,a_3]$ $n-4:\ C_4=[[a_1,a_2],a_3]=[C_3,a_3]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/6/5/365fa71aca9ed68621eb7516e344df2e82.png)
![$n=5:\ C_5=[[a_1,a_2],[a_3,a_4]]$ $n=5:\ C_5=[[a_1,a_2],[a_3,a_4]]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/8/4/984872b68e5eb010a2dc2f2328744e1582.png)
![$n=6:\ C_6 = [[[a_1,a_2],[a_3,a_4]],a_5]$ $n=6:\ C_6 = [[[a_1,a_2],[a_3,a_4]],a_5]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/f/8/6f881f66516462344a96d1a4afdfe34582.png)
и т.д. Индуктивно - если

четное, то имеем
![$C_n = [C_{n-1},a_{n-1}]$ $C_n = [C_{n-1},a_{n-1}]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/5/b/c5bb3424650f276f25df5b2711b3c0ca82.png)
, если

нечетное, то
![$C_n = [C_{n-2},[a_{n-2},a_{n-1}]]$ $C_n = [C_{n-2},[a_{n-2},a_{n-1}]]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/1/b/71b9a6cc3f01300c7574303cf6e80c7f82.png)
. Отсюда легко видно, что при удалении любой окружности среди первых

коммутатор зануляется и мы имеем тривиальную петлю (что соответствует тому, что "сложная" петля расцепилась, а остальные и не были зацеплены), а удаление сложной петли оставляет

обычных окружностей.
Этот способ, впрочем, можно представить и проще (пришла в голову явная геометрическая идея):
Берем сначала две окружности, одна обычная круглая, а вторая U-образная (назовем ее "подкова"). "Сцепляем" их так, чтобы круглая огибала низ подковы (см. первое фото, извиняюсь за madskilz). Дальше вторую подкову "вдеваем" в первую, чтобы ножки второй проходили рядом с ножками первой, но их плоскости были перпендикулярны (или просто под ненулевых углом). Вдеваем так столько подков, сколько захотим. Последнюю подкову соединяем с еще одной круглой окружностью так, как показано на рисунке 3.


