Топологическая задачка с веревками

[manul91]

$N$ взаимно-зацепленных в 3d веревок, каждая из которых топологии окружности: "взаимно-зацепленных" означает, что без разрезаний ни одну отделить от других нельзя.

Придумать конфигурацию "взаимного зацепления" $N$ веревок (где $N$ любое) такую, чтобы единственным срезом любой из веревок (меняя топологию только одной, хотя и любой из веревок, с топологию окружности на топологию отрезка) - каждая из веревок оказалась свободной (отделимой) от любых других.

Извиняюсь за возможную корявость в формулировкой, хотя надеюсь понятно.

На всякий случай: нужно не просто предьявить конфигурацию такого "взаимного сцепления" для конкретного $N$ (типа $N=3$) - это не сложно, а придумать алгоритм конфигурации такого "взаимного сцепления" который обобщается на любого количества веревок $N$.

[wrest]

Ну так все надеты на одну. Типа как ключи на кольцо.

[manul91]

wrest Извиняюсь - исправил условие, забыл упомянуть что это ("полное расцепление") должно работать при срезе любой из веревок.

[Leeb]

$n-1$ окружностей - стандартно вложенные незацепленные, $n$-я представляет собой петлю-коммутатор $[...[[a_1,a_2],[a_3,a_4],...,a_{n-1}]$, где каждая $a_i$ представляет собой петлю, зацепленную однократно с $i$-й окружностью, $i=1,2,...,n-1$ (другими словами, образующую группы $\pi_1(\mathbb{R}^3\backslash S^1_i)$). Выражение для коммутаторов зависит от четности $n$ - если $n $ четно, то последним будет браться коммутатор с $a_{n-1}$, если $n$ нечетное, то с $[a_{n-2},a_{n-1}]$.

[manul91]

Leeb Что такое "петля-коммутатор"? (гугл выдает только результаты о сетевых коммутаторов)

[sergey zhukov]

manul91

(Оффтоп)

Так это же очень просто. Замыкаем такую цепь в кольцо:

Понятно, что имются ввиду звенья, представляющие собой сложенные кольца. Эта цепь немного не так сделана,чтобы на распадаться на звенья от разрыва в любом месте, конечно

[Leeb]

manul91 в сообщении #1606538 писал(а):

Leeb Что такое "петля-коммутатор"? (гугл выдает только результаты о сетевых коммутаторов)

Петли - это элементы фундаментальной группы какого-то пространства (в нашем случае пространство это дополнение $\mathbb{R}^3\backslash (S^1_1\cup S^1_2\cup...\cup S^1_{n-1})$, т.е. $\mathbb{R}^3$ с выкинутым набором $n-1$ стандартно вложенных окружностей). Данная группа представляет собой свободную группу с $n-1$ образующей, и $i$-я образующая этой группы представляет собой класс окружности, зацепленную с $S^1_i$ ($i$-й окружностью набора). Коммутатор любых двух элементов группы это $[x,y] = xyx^{-1}y^{-1} $. Обратный элемент в фундаментальной группе к данному элементу $x$ - это петля $x$, пройденная в обратном направлении. Соответственно, будем строить такое семейство коммутаторов (здесь и далее $a_1,a_2,...,a_{n-1}$ - образующие группы дополнения):
$n=3:\ C_3=[a_1,a_2] = a_1a_2a_1^{-1}a_2^{-1}$;
$n-4:\ C_4=[[a_1,a_2],a_3]=[C_3,a_3]$
$n=5:\ C_5=[[a_1,a_2],[a_3,a_4]]$
$n=6:\ C_6 = [[[a_1,a_2],[a_3,a_4]],a_5]$
и т.д. Индуктивно - если $n$ четное, то имеем $C_n = [C_{n-1},a_{n-1}]$, если $n$ нечетное, то $C_n = [C_{n-2},[a_{n-2},a_{n-1}]]$. Отсюда легко видно, что при удалении любой окружности среди первых $n-1$ коммутатор зануляется и мы имеем тривиальную петлю (что соответствует тому, что "сложная" петля расцепилась, а остальные и не были зацеплены), а удаление сложной петли оставляет $n-1$ обычных окружностей.

Этот способ, впрочем, можно представить и проще (пришла в голову явная геометрическая идея):
Берем сначала две окружности, одна обычная круглая, а вторая U-образная (назовем ее "подкова"). "Сцепляем" их так, чтобы круглая огибала низ подковы (см. первое фото, извиняюсь за madskilz). Дальше вторую подкову "вдеваем" в первую, чтобы ножки второй проходили рядом с ножками первой, но их плоскости были перпендикулярны (или просто под ненулевых углом). Вдеваем так столько подков, сколько захотим. Последнюю подкову соединяем с еще одной круглой окружностью так, как показано на рисунке 3.

[manul91]

Leeb
Да, все решения которые мне известны основаны на такой цепи "подков" как у вас и sergey zhukov (хотя он и не указал как именно ее замыкать). Ее можно замыкать по-разному - по окружностью с обоих сторон (как у вас), или замыкающее кольцо может еще охватить и начало цепи замыкая ее тем самым как целое.
Интересно вот что:
Условие симметрично относно звеньев, но известные решения - ассиметричные. Есть ли симметричные решения (где все звенья "в одинаковой топологической диспозиции" относно остальных)?

[sergey zhukov]

manul91
В моей цепи все звенья совершенно симметричны. Способ ее замыкания совершенно прозрачен, там даже пояснять ничего не нужно. Последнее звено соединяется с первым точно так же, как соединена любая пара звеньев этой цепи. Они полностью идентичны. В такой цепи нет "особого звена" или какого-то "начала".

[manul91]

sergey zhukov в сообщении #1606774 писал(а):

В моей цепи все звенья совершенно симметричны. Способ ее замыкания совершенно прозрачен, там даже пояснять ничего не нужно. Последнее звено соединяется с первым точно так же, как соединена любая пара звеньев этой цепи. Они полностью идентичны. В такой цепи нет "особого звена" или какого-то "начала".

Да, верно, хотя и очевидно как-то не сообразил:))) Все же интересно, существует ли другое решение "не основанное" на такой цепи из подков.

[sergey zhukov]

manul91
Эта задача по моему эквивалентна такой: положить на стол $N$ спичек так, чтобы ни одну из них нельзя было поднять, не "вытягивая" из под остальных. Но если убрать одну спичку - то все можно было-бы поднять. Решение - положить все спички цепочкой "упавших костяшек домино" в замкнутую цепь, т.е. так, чтобы следующая спичка лежала под предыдущей, но на последующей.

При начальном удалении любой одной спички должна освободиться как минимум еще одна спичка. Это значит, что каждая спичка должна быть покрыта ровно одной спичкой. Так же каждая спичка должна покрывать хотя бы одну спичку, иначе ее удаление не освобождает ни одной спички. Отсюда (как-будто) следует, что каждая спичка должна покрывать ровно одну и быть покрыта ровно одной спичкой.

Простейшая конфигурация - три спички в кольце (треугольнике). Добавлять сюда еще одну спичку, не трогая треугольник, не имеет смысла (ее удаление не даст разобрать треугольник). Единственный вариант - включить ее в кольцо. То же рассуждение можно повторить и для этого кольца и т.д.

Т.е. по крайней мере в задаче со спичками "цепочечное решение" - единственное.

[Leeb]

Например, варьируя "сложную" петлю из моего прошлого сообщения (очевидно, что таких коммутаторных выражений, которые зануляются при удалении любой из образующих, очень много), получаем бесконечно много изотопически неэквивалентных конфигураций из $n$ зацепленных окружностей в пространстве, таких, что при удалении любой из окружности остальные оказываются незацепленными.

[manul91]

sergey zhukov в сообщении #1606913 писал(а):

Эта задача по моему эквивалентна такой: положить на стол $N$ спичек так, чтобы ни одну из них нельзя было поднять, не "вытягивая" из под остальных.

Ну все-таки кольца это не спички, я бы не сказал что это "эквивалентно". Но как эвристикой наверное годится... в данном случае.

[Leeb]

manul91 в сообщении #1607148 писал(а):

Leeb в сообщении #1607130 писал(а):

Эта задача по моему эквивалентна такой: положить на стол $N$ спичек так, чтобы ни одну из них нельзя было поднять, не "вытягивая" из под остальных.

Ну все-таки кольца это не спички, я бы не сказал что это "эквивалентно". Но как евристикой наверное годится... в данном случае.

(Оффтоп)

Прошу прощения, но цитированное сообщение все-таки писал не я.
Также не согласен с "эквивалентностью" формулировок - как минимум, потому что требуемых расположений бесконечно много, а разложить спички - ну, максимум эвристика. Да и вообще, доказывать эту "эквивалентность" надо, если она даже и есть.

[manul91]

Leeb

(Оффтоп)

"цитированное сообщение все-таки писал не я" - извиняюсь, исправил - не знаю, почему так получилось