Точки и прямая на плоскости

[manul91]

Не уверен приводил ли на этом форуме данную задачу... Поиск ничего не выдал, но наперед извиняюсь если повтор.

$N$ точек ($N$ - любое конечное число) расположены в эвклидовой плоскости любым образом таким, что никакие три из них не лежат на одной прямой.
Также есть прямая $L$, которая "движется" следующим образом:
- Сначала $L$ проходит через ровно одной из точек (пусть $P$).
- $L$ вращается по часовой стрелке вокруг $P$ ($P$ - "текущая ось вращения") до тех пор, пока одно из ее "плечей" не упирается в какую-нибудь из других точек (пусть $P_1$).
- С данного момента, ось вращения $L$ переходит с $P$ к $P_1$, (т.е. точка $P$ "отцепляется" от прямой, и она далее продолжает вращаться по часовой стрелке, вокруг нового центра вращения $P_1$).
Данный процесс продолжается далее неограничено.

Требуется доказать, что:
Для любого количества $N$ точек в любом расположении (единственное ограничение - никакие три из точек не лежат на одной прямой - чтобы процесс был однозначным) - всегда найдется такая "начальная" точка $P$ и такое "начальное" направление прямой $L$ - что при вращении прямая перейдет через всех точек.

[ozheredov]

(manul91)

manul91, подскажите please аналитическое решение задачи c четырьмя цифрами и суммой 24 (в соответствующей теме)

[manul91]

Задача никого не заинтересовала.. Или известная? Решение простое и элегантное

[worm2]

Меня лично заинтересовала. Но пока не могу ничего путного сказать.
Задача больше подходит для "Олимпиадных задач". Может быть, там ей больше заинтересуются. Сейчас попрошу модератора перенести.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Загадки, головоломки, ребусы» в форум «Олимпиадные задачи (М)»
Причина переноса: не указана.

[KhAl]

Это система с $N(N-1)$ позицией — парами точек $(A; B)$ (через которые сейчас проходит прямая), причём при $N>2$ следующая позиция $(x; B) \mapsto (B; f_B(x))$, где $f_B$ — какой-то циклический сдвиг $N-1$-й точки. Достаточно ли этого? Думаю, да.

[mihaild]

(Оффтоп)

manul91, а то что у Вас задачки с braingames - это совпадение, или нет?

[KhAl]

KhAl в сообщении #1607113 писал(а):

Достаточно ли этого? Думаю, да.

Оаказалось, нет для $N = 4$. Нужно ещё какое-то свойство, возможно, связанное с ориентацией...

[Geen]

(Оффтоп)

mihaild в сообщении #1607115 писал(а):

задачки с braingames

А он ещё жив?

[manul91]

mihaild в сообщении #1607115 писал(а):

(Оффтоп)

manul91, а то что у Вас задачки с braingames - это совпадение, или нет?

(Оффтоп)

Не знаю.
Эти задачки дает мне парень который экзаменует новопоступающих в оксфорд ("чтобы узнать как они думают"), мы пересекаемся с ним летом в одном и том же поселке на море в болгарии, которое он полюбил для отдыха и там тусуется.
Он коллекционирует такие задачки - "gems" - для которых в идеале: 1) ненужно особенно знать математику (ну т.е. на уровне с 5-ого до 12-ого класса) 2) нужно типа творческое рассуждение 3) "считать ничего не нужно, все в уме" (когда это не выполняeтся, то оговаривается)
Как он говорит их "очень сложно раздобыть", притом они быстро становятся известны и "нужны новые"
Его любимая задачка кстати "из dxdy" - та про "зацепление конусом веревочной петлей" - которой я узнал отсюда. Сказал что она не гуглилась на английском и прям гениальна.
К сожалению большинство из его задачек я не записывал.... полагаю он их тянет из всевозможных источников

[mathematician123]

Вспомнил, что когда-то давно смотрел видео. Это задача с IMO 2011.

[mihaild]

(Оффтоп)

Geen в сообщении #1607121 писал(а):

А он ещё жив?

Живее всех живых, последнюю задачу в конце июня выложили.
manul91, просто из недавнего как минимум 3 (вот эта, 1346 и про кодирование клетки на доске) там были.

[worm2]

Проблема: пусть у нас, скажем, 4 точки лежат в вершинах квадрата, а внутри него ещё одна, пятая точка, и мы начинаем с прямой, проходящей через вершину, при этом все остальные точки изначально находятся по одну сторону от этой прямой. Тогда внутренняя точка никогда не будет достигнута.

Очевидное решение: начать с этой внутренней точки. Кажется очевидным, что все точки будут достигнуты.

Довольно очевидное обобщение на произвольный случай: исключаем выпуклую оболочку точек; повторяем, пока ничего не останется. Таким образом всё множество разобьётся на выпуклые многоугольники, вложенные друг в друга. Последняя (самая внутренняя) выпуклая оболочка может быть вырожденной: состоять из 1 точки (тогда проводим произвольную прямую через неё) или 2 точек (в этом случае проводим прямую через обе). Если точек больше, проводим прямую через одну из них так, чтобы оставшиеся точки были от неё по разные стороны. Проведённая таким образом прямая разрежет все выпуклые многоугольники (из которых множество точек состоит полностью).
Опять же, кажутся довольно очевидными два утверждения:
1) что при движении прямой по правилам это свойство останется неизменным: если прямая разрезала выпуклый многоугольник, она продолжит его вечно разрезать (за исключением моментов, когда она проходит через две его стороны);
2) что все точки любого "разрезанного" выпуклого многоугольника будут пройдены вне зависимости от того, какие ещё точки лежат внутри либо вне его.
Однако строгие доказательства от меня ускользают.

[manul91]

mihaild в сообщении #1607136 писал(а):

(Оффтоп)

Geen в сообщении #1607121 писал(а):

А он ещё жив?

Живее всех живых, последнюю задачу в конце июня выложили.
manul91, просто из недавнего как минимум 3 (вот эта, 1346 и про кодирование клетки на доске) там были.

Имеет ли смысл посылать здесь задач, которые
- возможно уже публиковались, черт знает где
- возможно очень просты/легко решить для продвинутых участников, но не для остальных
?

[Geen]

(Оффтоп)

mihaild в сообщении #1607136 писал(а):

Живее всех живых

Ок, а то я после истории с "продажей" как-то перестал туда ходить...