Кажется, нашёл одно решение. Но оно довольно "тяжеловесное", насыщенное математикой. То есть по критериям "не нужно особенно знать математику" и "считать ничего не нужно, всё в уме" не очень-то подходит.
Итак, пусть у нас множество
из
точек, удовлетворяющее условиям.
I. Рассмотрим любую точку
и любую прямую, назовём её
, проходящую только через неё, но не через другие точки множества.
Прямая разбивает плоскость на 2 полуплоскости, условно: "синюю" и "красную". Пусть
— разность количеств точек, находящихся в "красной" и "синей" частях (точку
не считаем).
Например, на рисунке
https://imgur.com/a/GryJoZJ предполагаем, что полуплоскость сверху от линии
— красная, а снизу — синяя. За мгновение до пересечения прямой точки
(она вращается до этого вокруг
) в "красной" полуплоскости — две точки
и
, в синей — остальные (кроме
):
,
,
,
,
,
,
,
,
,
(10 штук), получается
.
Чётность
будет всегда противоположна чётности
, ибо одну точку не считаем.
Будем вращать кривую вокруг
по часовой стрелке (пока
только вокруг
, не будем "перескакивать" на другие точки по правилу из условия). По мере вращения величина
будет каждый раз увеличиваться либо уменьшаться ровно на 2 (будем интересоваться только протяжёнными интервалами углов, а не моментами скачков, когда на прямой лежат ровно 2 точки; а больше 2 там и вовсе не может быть по условию), т.к. каждый раз ровно одна точка переходит из красной области в синюю или наоборот.
При повороте на 180 градусов относительно исходного положения
меняет свой знак (поскольку точки, бывшие в синей области, окажутся в красной, и наоборот). Следовательно, всегда будет такой промежуток углов, когда
равна 0 (при нечётном
) или 1 (при чётном
). С такого положения прямой и начнём. Дальше будем доказывать, что прямая
из такого начального положения (при вращении уже
по правилу, с перескакиванием) пройдёт через все точки.
II. Заметим, что при вращении прямой
по правилу величина
не меняется: одна из точек исчезает из синей или красной полуплоскости, однако другая тут же появляется
в этой же полуплоскости. Т.е. при вращении по правилу
является инвариантом (опять же, не будем рассматривать моменты переключения, когда на прямой лежат две точки).
Так, на уже упомянутом рисунке изначально в "красной" полуплоскости были точки
и
, потом... давайте-ка я лучше покажу это прямо на маршруте: {
,
} ->
-> {
,
} ->
-> {
,
} ->
-> {
,
} ->
-> {
,
} ->
-> {
,
} ->
-> {
,
} ->
-> {
,
} ->
-> {
,
} ->
-> {
,
} ->
-> {
,
} ->
-> {
,
} -> ... наверное, и вам уже следить надоело, видно, что в "красной" области всегда две точки и всегда
.
Значит, для прямой, построенной в п. I,
всегда будет равно 0 или 1.
III. Возьмём любую другую точку множества,
, снова будем вращать вокруг неё (только вокруг неё,
не по правилу) прямую, которую назовём
, разбивающую плоскость на синюю и красную полуплоскости и вычислять для неё
. По доказанному в п. I, в какой-то момент
совпадёт с 0 или 1.
Вот теперь следите за руками!
Спросим, а когда прямая
из п. I (которая крутится
по правилу из своего начального положения) будет параллельна данному положению прямой
(у которой
равно 0 или 1), и будет так же ориентирована (т.е. расцветки полуплоскостей у них также будут одинаковыми), то через какую точку она будет проходить? Оказывается, прямая
обязательно должна будет пройти в этот момент именно через точку
, т.е. совпасть с
! Потому что если бы она проходила через другую точку, то у неё обязательно было бы другое значение
(при поступательном движении прямой, остающейся параллельной самой себе, от одной точки множества к другой,
последовательно возрастает либо убывает на 2, проходя всевозможные чётные либо нечётные значения от
до
, но ни одно не проходя дважды). Следовательно, при вращении
по правилу от начального положения прямая
обязательно пройдёт через
, ч т.д.
Применительно к нашему рисунку: 13 точек (от
до
, буква
пропущена). Следовательно,
чётно. Берём точку
и разбиваем остальные точки множества на 2 равномощные подмножества из 6 точек (чтобы
приравнять к нулю). Прямая будет почти вертикальна, будет проходить через отрезок
(
,
,
почти на одной прямой, но
чуть левее,
чуть правее). Слева (синяя полуплоскость) будут точки
,
,
,
,
,
справа (красная полуплоскость) —
,
,
,
,
,
. Маршрут:
->
->
->
->
->
->
->
->
->
->
->
->
->
->
->
->
->
->
(замкнулся, все точки пройдены).
и вернётся в исходное положение). Нужно?
)
из одного из прошлых шагов с вершиной 
на данном шаге (нумерация вершин по часовой стрелке), а не наоборот), в этом случае она более не попадет внутрь. И вот сложность с переходом от точек внутреннего многоугольника (с которым работаем сейчас) к точкам внешних для него многоугольников - т.е. почему, перескакивая на внешние точки, наша прямая не может покинуть рассматриваемый многоугольник раньше нужного момента. Пусть прямая как-то вращается вокруг фиксированной точки. Поскольку направление вращения всегда одно и то же, то на такой прямой можно ввести "сверху" и "снизу" очевидным образом. 
— та сторона многоугольника, на которую попала прямая после того, как была внутри. Для простоты считаем, что 
