Свежее неравенство

[arqady]

Пусть $a+b+c=3$. Докажите, что:

$$\sqrt{(5a^2+3)(5b^2+3)}+\sqrt{(5a^2+3)(5c^2+3)}+\sqrt{(5b^2+3)(5c^2+3)}\geq24$$

(примечание)

Равенство здесь достигается не только когда $a=b=c$

[dx_dyf]

arqady в сообщении #627526 писал(а):

Пусть $a+b+c=3$. Докажите, что:

$$\sqrt{(5a^2+3)(5b^2+3)}+\sqrt{(5a^2+3)(5c^2+3)}+\sqrt{(5b^2+3)(5c^2+3)}\geq24$$

(примечание)

Равенство здесь достигается не только когда $a=b=c$

$$\sqrt{(5x^2+3)(5y^2+3)}+\sqrt{(5x^2+3)(5z^2+3)}+\sqrt{(5y^2+3)(5z^2+3)}\geq24,\ \ \ x+y+z=3$$

$$\left( \sqrt{5x^2+3}+\sqrt{5y^2+3}+\sqrt{5z^2+3} \right)^2 -(5x^2+3)-(5y^2+3)-(5z^2+3) \geq 48 $$

$$ \left(\sum\limits_{xyz}^{}\sqrt{5x^2+3} \right)^2 - \sum_{xyz}(5x^2+3) \geq 48 $$

Будем искать минимум функции методом Лагранжа

$$ L(x,y,z,\lambda) = \left(\sum\limits_{xyz}^{}\sqrt{5x^2+3} \right)^2 - \sum_{xyz}(5x^2+3) + \lambda(x+y+z-3) $$

$$\frac{\partial L}{\partial x}=2\left(\sum\limits_{xyz}^{}\sqrt{5x^2+3} \right)\frac{5x}{\sqrt{5x^2+3}}-10x+\lambda=0$$

Возьмем частные производные в такой комбинации:

$$ 0=\frac{\partial L}{\partial x}(y-z) + \frac{\partial L}{\partial y}(z-x) + \frac{\partial L}{\partial z}(x-y) = $$

$$ = 2\left(\sum\limits_{xyz}^{}\sqrt{5x^2+3} \right) \left( \frac{5x}{\sqrt{5x^2+3}}(y-z) + \frac{5y}{\sqrt{5y^2+3}}(z-x) + \frac{5z}{\sqrt{5z^2+3}}(x-y) \right) $$

На первый множитель можно сократить

$$\frac{5x}{\sqrt{5x^2+3}}(y-z) + \frac{5y}{\sqrt{5y^2+3}}(z-x) + \frac{5z}{\sqrt{5z^2+3}}(x-y) =0$$

В этом выражении три раза повторяется дробь. Обозначим её функцией $f(x)$

$$ f(x)=\frac{5x}{\sqrt{5x^2+3}} $$

$$ f(x)(y-z)+f(y)(z-x)+f(z)(x-y)=0 $$

Функция f - вогнутая, поэтому две из трех переменных должны быть равны друг другу.

$$ \frac{df}{dx}=\frac{15}{(5x^2+3)^{3/2}}, \ \ \ \frac{d^2f}{dx^2}=-\frac{255x}{(5x^2+3)^{5/2}} \leq 0 $$

Вернемся к исходному неравенству. Пусть y=z.

$$ 2\sqrt{(5x^2+3)(5y^2+3)} + (5y^2+3) \geq 24, \ \ \ x+2y=3 $$

Это решается совсем просто возведением в квадрат

$$ (5y-3)^2(y-1)^2 \geq 0 $$

У функции четыре минимума: (1,1,1), (9/5,3/5,3/5), (3/5,9/5,3/5), (3/5,3/5,9/5)
В каждом минимуме функция равна 24.