найти фундаментальное решение оператора

[vladisluv]

Фундаментальное решение оператора $\(Lu = u''' - 3u'' + 2u'\)$ в пространстве $\(S(0,+\infty)\)$ с краевыми условиями $\(u(0) = 0\)$
Я решал так:
находил корни характерестического уравнения и коэффициенты, используя краевые условия $u(0)=0, u'(0)=0, u''(0)=1$
получилось $u = 1/2e^{2x}-e^x+1/2$
но я не учитывал пространство. а как решать в этом пространстве не знаю.

[svv]

vladisluv в сообщении #1605930 писал(а):

в пространстве $\(S(0,+\infty)\)$

А что это за пространство?

[vladisluv]

svv в сообщении #1605965 писал(а):

А что это за пространство?

пространство Шварца $\mathcal{S}(0, +\infty)$

[svv]

Обратите внимание, что требуется не решение, а фундаментальное решение. Эта штука зависит от двух переменных $x,\xi$. Как функция $x$ при фиксированном $\xi$ оно удовлетворяет условию $\mathsf Lu(x,\xi)=\delta(x-\xi)$. Оно не удовлетворяет однородному уравнению $\mathsf Lu=0$ в точке $x=\xi$.

Физически, $u(x,\xi)$ — это поле в точке $x$, созданное единичным источником в точке $\xi$, вот почему здесь две переменных.

[мат-ламер]

svv в сообщении #1605968 писал(а):

Обратите внимание, что требуется не решение, а фундаментальное решение
. Эта штука зависит от двух переменных $x,\xi$.

Боюсь встревать (вопрос терминологический), но мне кажется, что в фундаментальном решении гречеcкой буквы "хи" нет. Там справа просто дельта-функция Дирака (в нуле). А эта буква появляется в функции Грина .

-- Вс авг 20, 2023 22:50:48 --

vladisluv в сообщении #1605930 писал(а):

но я не учитывал пространство. а как решать в этом пространстве не знаю.

Как решать именно в этом пространстве я тоже не знаю. Но можно начать с того, что просто проинтегрировать один раз уравнение по $x$ . Тогда слева по одному штриху пропадёт. А в правой части уравнения будет тождественная единица на правой полуоси. И уже никаких обобщённых функций не будет.

[Mikhail_K]

мат-ламер в сообщении #1605980 писал(а):

Боюсь встревать (вопрос терминологический), но мне кажется, что в фундаментальном решении гречеcкой буквы "хи" нет. Там справа просто дельта-функция Дирака (в нуле). А эта буква появляется в функции Грина.

Верно. Только $\xi$ - это не "хи", а "кси". "Хи" - это $\chi$.

[Red_Herring]

мат-ламер в сообщении #1605980 писал(а):

Боюсь встревать (вопрос терминологический)

Это действительно терминологический вопрос, поэтому ТС должен привести определение из учебника. Кстати, если искать решение из пространства Шварца $\mathscr{S}([0,\infty))$, то требуется одно краевое условие в $0,$ а вот для решения произвольного роста требуется таковых $3$. ТС -- знаете почему?

[vladisluv]

Red_Herring в сообщении #1605986 писал(а):

мат-ламер в сообщении #1605980 писал(а):

Боюсь встревать (вопрос терминологический)

Это действительно терминологический вопрос, поэтому ТС должен привести определение из учебника. Кстати, если искать решение из пространства Шварца $\mathscr{S}(0,\infty)$, то требуется одно краевое условие в $0,$ а вот для решения произвольного роста требуется таковых $3$. ТС -- знаете почему?

Не понимаю как использовать в этом пространстве краевые условия. И не понимаю почему одного достаточно. Поясните пожалуйста

[Red_Herring]

vladisluv в сообщении #1605987 писал(а):

Не понимаю как использовать в этом пространстве краевые условия.

Вопросы:
1. Как выглядит решение $Lu=0$?
2. Как выглядит решение $Lu=0$ которое принадлежит указанному пространству $S$? И, кстати, определение этого пространства из учебника?

[Red_Herring]

В пространстве Шварца на положительной полуоси вообще для этого оператора никаких гранитных условий в 0 не нужно, и поэтому разницы между фундаментальными решениями уравнения и краевой задачи нет, 1 нужно в пространстве умеренно растущих функций

[мат-ламер]

Я бы посоветовал топик-стартеру разобраться, какой физический смысл стоит за постановкой задачи. Я этот смысл пока вижу так. Допустим у нас есть некоторое тело, которое в начальный момент времени проходит через начало координат. В этот момент по этому телу наносят удар дельта-функцией. Если после этого удара тело продолжит движение, то действующие на это тело силы унесут тело вдаль от начала координат. И оно никак не впишется в пространство Шварца. Единственный способ остаться в нём - остановиться после удара намертво в начале координат. Отсюда понятно, что начальная скорость тела должна быть ровно такой, чтобы начальный удар её остановил.

Mikhail_K в сообщении #1605982 писал(а):

Только $\xi$ - это не "хи", а "кси". "Хи" - это $\chi$.

Это я всё помню. Но дело было так. Уже вечер. Я после жаркого дня соображаю туго. Поэтому решил подстраховаться и выяснить, как точно называется эта буква. Для этого навёл на неё курсор. Сегодня проделал то же самое. И понял, что подсказку я прочёл не на том языке.

[vladisluv]

Red_Herring в сообщении #1605988 писал(а):

1. Как выглядит решение $Lu=0$?

Получается $u=C_1e^{2x}+C_2e^x+C_3$, подставляем краевое условие $u(0)=0$ выражаем $C_1 =-C_2-C_3$ и $u=-(C_2+C_3)e^{2x} +C_2e^x+C_3$ \
А фундаментальное решение $(-(C_2+C_3)e^{2x} +C_2e^x+C_3)\theta(x)$ получается так?

[Red_Herring]

Отвечайте на все вопросы и по порядку.