Квантовая механика. Свободная частица

[sergey zhukov]

Начал изучение основ квантовой механики с примера свободной частицы в одномерном случае.

Уравнение Шредингера для свободной частицы сводится к:

$$\Psi (x,t)=\psi(x)e^{-\frac{i}{\hbar}Et}$$

$$\frac{\partial^2 \psi (x)}{\partial x^2}+k^2\psi (x)=0$$

$$k^2=\frac{2mE}{\hbar^2}$$

Общее решение второго уравнения:

$$\psi(x)=C_1e^{ikx}+C_2e^{-ikx}$$

Квадрат модуля $\Psi (x,0)$ равен квадрату модуля $\psi(x)$ и равен плотности вероятности обнаружения частицы в точке $x$:

$$\left\lvert\psi(x)\right\rvert^2=C_1^2+C_2^2+2C_1C_2\cos (2kx)$$

Мне не совсем понятно, почему здесь в общем случае получается интерференционная картина? Ведь это же задача про одну частицу массы $m$ и энергии $E$. Или для одной частицы обязательно должно быть $C_1=0$ или $C_2=0$ ? Там, где я смотрел этот вывод, берут частное решение:

$$\psi(x)=Ce^{ikx}$$

Почему нужно брать именно частное решение? Как определяются константы интегрирования $C_1$ и $C_2$ (есть условие нормировки, а что еще)?

[Cos(x-pi/2)]

Начните с начала: напишите уравнение Шредингера для $\Psi (x,t)$ и подумайте, как записать его общее решение. (То, что Вы написали - это лишь частный случай.) Каков смысл начального условия? Подумайте также, оператор какой физической величины коммутативен с гамильтонианом свободной частицы, и что из этого следует. И какой смысл имеют собственные функции этого оператора. Про "волновой пакет" почитайте, задачи про него порешайте.

[Alex-Yu]

sergey zhukov в сообщении #1579754 писал(а):

почему здесь в общем случае получается интерференционная картина?

Потому, что при определенной энергии импульс может быть и неопределенным (определенным по модулю, но лишь по модулю).

[Утундрий]

sergey zhukov в сообщении #1579754 писал(а):

Начал изучение основ квантовой механики

Надеюсь, по систематическому курсу, а не "по интернету"?

[sergey zhukov]

Немного покопался и понял, что нужно начать с более простых вещей. Посмотрел Сасскинда.

Сасскинд приводит самый простой пример: частицу со спином, который при измерении принимает всегда только два значения. Скажем $+1$ и $-1$. Это значит, что пространство состояний этой частицы двумерно (имеется только два ортогональных состояния), и любое произвольное состояние описывается двумерным единичным вектором.

Любое состояние - это вектор. Чтобы выразить произвольный вектор состояния системы, нужно определить базис (базисные состояния, т.е. базисные векторы ортогональных состояний). Этот базис - вещь произвольная, но важно, что таких базисных состояний в нашем случае всегда два (двумерное пространство состояний). Любое произвольное состояние будет вектором, выраженном в этом базисе.

Процесс измерения квантовых свойств частицы всегда одновременно так же и процесс определения базиса измерения. Причем, если мы измеряем только базисные состояния, то базис остается без изменения, а результат измерения получается совершенно точный. Попытка же измерить какое-либо состояние, отличное от базисного, приводит к смене базиса, а результат измерения становится случайным.

Скажем, для нашей частицы со спином есть два ортогональных базисных состояния, которые можно измерить совершенно точно. Эти состояния измеряются вдоль любой оси прибором, направленным вдоль этой оси в положительном направлении, а так же перевернутым на $180^\circ$.Если мы измерили спин для частицы в любом направлении и получили $+1$, то измерение в противоположном направлении всегда даст $-1$. И вообще, сколько бы раз мы после этого ни измеряли два эти состояния вдоль именно этой выбранной прямой, переворачивая прибор то прямо, то обратно вдоль нее, измерения всегда дают этот результат: прямо $+1$, обратно $-1$. Никакой вероятности здесь нет, результат измерения всегда точно определен.

Но если мы захотим измерить спин в направлении, перпендикулярном этой прямой, то это не будет базисным состоянием. Следовательно, таким измерением мы меняем базис (выбираем новую прямую, перпендикулярную исходной), а результат измерения будет случайным. Разумеется, повторное измерение в этом базисе (вдоль этой новой выбранной прямой) в положительную отрицательную сторону уже будет совершенно точным и не случайным, как и вдоль старой прямой (в старом базисе). Но вот измерения, которые приводят к смене базиса - они будут давать случайный результат (не в смысле того, что вероятности получения $+1$ и $-1$ будут равны, конечно. Эти вероятности как раз строго вычисляются в зависимости от взаимного расположения старого и нового базисов и результатов измерения в старом базисе).

В некотором смысле измерить не базисное состояние системы вообще невозможно. Можно лишь вычислить вероятность того, какой результат измерения нового базисного состояния мы получим в новом базисе. Т.е. если очередное измеряемое состояние - базисное, то базис измерения не меняется, и мы получаем точно такой же результат, как и в предыдущем измерении в этом базисе. Если же измеряемое состояние не базисное, то при таком измерении базис переопределяется так, что это измеряемое состояние становится новым базисным, а результат измерения по сути отражает измерение нового базисного состояния в новом базисе. Случайность же этого измерения следует из того, что произошла смена базиса.

Т.е. у системы в общем случае есть $N$ базисных состояний, и мы знаем, как их измерять (это может быть сложнее, чем просто перевернуть прибор на $180^\circ$. Скажем, может быть, его нужно будет повернуть только на $90^\circ$). Если измерять только их, то базис остается без изменений, и все повторные измерения дают повторяемые результаты без случайности. Любые другие измерения приводят просто к переопределению базиса, и в новом базисе мы снова можем точно и повторяемо измерять все базисные состояния. Но измерения, которые приводят к смене базиса - они всегда содержат случайность.

Правильно ли я это понимаю?

[amon]

sergey zhukov в сообщении #1605706 писал(а):

Любое состояние - это вектор. Чтобы выразить произвольный вектор состояния системы, нужно определить базис (базисные состояния, т.е. базисные векторы ортогональных состояний).

Тут, по-моему, у Вас какая-то каша. Вектор состояния - это, как учили классики, объективная реальность (с оговорками), а базис у нас в голове. Есть у нас спинор $|S\rangle.$ Я могу как угодно выбирать базис - наблюдаемые результаты от этого не должны зависеть.

sergey zhukov в сообщении #1605706 писал(а):

Скажем, для нашей частицы со спином есть два ортогональных базисных состояния, которые можно измерить совершенно точно.

С чего вдруг? "Точно" (в смысле - всегда результат один и тот же) можно измерить базисное состояние только если это состояние - собственное состояние того, чего мы измеряем. Это условие однозначно фиксирует выбор базиса, если базис другой, то "точно измеряемым" будет отнюдь не базисное состояние, поэтому утверждение

sergey zhukov в сообщении #1605706 писал(а):

В некотором смысле измерить не базисное состояние системы вообще невозможно.

в корне неверно. Когда обсуждается процедура измерения предполагается, что в качестве базиса выбраны собственные состояния оператора измеряемой величины, но делается это только для простоты вычислений.

[sergey zhukov]

amon в сообщении #1605724 писал(а):

Я могу как угодно выбирать базис - наблюдаемые результаты от этого не должны зависеть.

Тут я имел ввиду "Чтобы записать вектор состояния системы в компонентном виде, нужно выбрать базис, векторами которого являются какие-нибудь ортогональные векторы состояния системы". Конечно, он произвольный, на объективную реальность не влияет.

Я как-то пропустил понятие "собственное состояние". Тогда так:
Векторами произвольного базиса в общем случае являются не собственные, а просто какие-то ортогональные состояния системы. Брать векторы собственных состояний в качестве базисных просто удобнее в плане вычислений, но это не обязательно. Собственные состояния - это объективное свойство самой системы.

В процессе измерений базис не меняется. Если мы измеряем одно из собственных состояний - то получаем результат, не содержащий случайности. Если мы измеряем одно из не собственных состояний системы, то получаем результат, содержащий случайность. После такого измерения это состояние системы становится собственным (последующее его измерение дает определенный результат).

Т.е. я правильно понимаю, что компоненты векторов собственных состояний системы меняется в заданном базисе, если выполнять измерения не собственных ее состояний? Если грубо, частица "поворачивается" под действием такого измерения?

[Cos(x-pi/2)]

Похоже, кое-что Вы уловили, но назвать ваш текст в стартовом сообщении "правильным пониманием" - будет, на мой взгляд, преувеличением. Комментарии:

Желание хорошенько разобраться в первую очередь с простейшей КМ-картиной - с описанием систем с двумерным пространством состояний - похвальное, если оно серьёзное.

Однако, говоря о состояниях, Вы не дали здесь понятию "состояние" никакой математической формулировки. Поэтому не ясен смысл ваших слов "измерить состояние", "измерением мы меняем базис", "если очередное измеряемое состояние - базисное, то базис измерения не меняется", "вероятности вычисляются в зависимости от взаимного расположения старого и нового базисов и результатов измерения в старом базисе", и т.п.

Поскольку Вы не стремились к точности своих высказываний, то допустили неверные утверждения (а в разговорах о КМ надо стараться избегать неточностей; КМ и без того сложная наука, притом она конкретная - в ней рассматриваются конкретные эксперименты и количественные задачи; туманные обобщения могут вести в итоге к путанице):

sergey zhukov в сообщении #1605706 писал(а):

Если мы измерили спин для частицы в любом направлении и получили $+1$, то измерение в противоположном направлении всегда даст $-1$.

Без специальных пояснений это неверно. Речь здесь должна идти об измерении проекции спина на произвольно заданное направление; результатом будут значения проекции спина $+1/2$ или $-1/2$ в долях от $\hbar.$

Речь может идти и о состояниях поляризации фотона (они часто рассматриваются в сюжетах о запутанных состояниях). Но два базисных состояния фотона с линейной поляризацией связаны поворотом на $90^\circ,$ а не на $180^\circ.$

Эти, казалось бы, незначительные детали (т.е. каким именно поворотом одно базисное состояние переходит в другое, включая классическое представление о "поворотах", и, в частности, о некоммутативности поворотов в общем случае) служат в КМ-теории основным источником конкретной информации о свойствах состояний. Прямо сходу это неочевидно, но это самое важное и интересное, и с этой математикой следует начать детально разбираться.

sergey zhukov в сообщении #1605734 писал(а):

Т.е. я правильно понимаю, что компоненты векторов собственных состояний системы меняется в заданном базисе, если выполнять измерения не собственных ее состояний? Если грубо, частица "поворачивается" под действием такого измерения?

Собственные состояния - они не "собственные состояния системы", а собственные для конкретного оператора (или для набора взаимно коммутативных операторов). Для другого оператора (или при другом выборе взаимно коммутативных операторов, среди которых есть некоммутирующие с какими-нибудь из предыдущих) эти состояния уже не собственные, собственными будут другие.

Пока в вашем понимании не созреет в качестве основы КМ-теории формализованное описание пространства состояний с действующими на нём операторами, и не будет осознана статистическая интерпретация векторов состояний, Вам будет мешать словесная путаница.

ИМХО, при изучении КМ лучше не пытаться после каждых нескольких страничек формулировать себе какие-то окончательные представления по таким отрывкам, а спокойно, терпеливо изучать курс полностью. И при этом решать учебные задачи. Потом - вернуться в начало и снова всё прочитать, обдумывая всё уже с позиций полученных Вами более-менее обширных знаний. И так несколько раз. Тогда, может быть, и появится ощущение некоторой ясности.

[amon]

sergey zhukov в сообщении #1605734 писал(а):

частица "поворачивается" под действием измерения?

Да.