2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Лето Птолемея
Сообщение14.08.2023, 21:10 
Аватара пользователя


11/04/14
561
Птолемей, используя наблюдения предшественников, а также свои собственные - "точнейшие, произведенные нами в 463 году после смерти Александра" (см. Альмагест), посчитал, что астрономическое лето (долгота Солнца в эклиптике равна 90°) наступает через 94.5 дня после весеннего равноденствия. Кроме того, он посчитал, что среднее движение Солнца по эклиптике в шестидесятых долях составляет: $0;59,8,17,13,12,31 °/d$
(полный оборот за 365.2467 сут - это примерно на 6 мин больше принятого сейчас значения тропического года 365.2424).
Расчет истинной долготы Солнца в эксцентрической модели весьма прост. Истинная долгота Солнца отличается от средней на величину так называемого простафереза - разницы между средней аномалией $u$ и истинной аномалией $v$ (Рис. 1). Очевидно, что если $u < 180°$, то $u > v$ и $c > 0$. Соответственно, если $u > 180°$, то $c < 0$.
Изображение
Рис. 1.
Для конкретного эксцентриситета простаферез вычисляется по формуле:

$\tg c = e \sin u / (1 + e \cos u)$

Птолемей выполнил расчет простафереза для $e = 1/ 24$ без обращения к современным тригонометрическим фунциям, но с высочайшей точностью, ошибка не превышает 1 угловой минуты.
Изображение
Рис. 2
Истинная аномалия Солнца в определенный день $t$ после весеннего равноденствия вычисляется по формуле:
$L=v+LA$,
где $v$ - истинная аномалия, $v = u - c$
$u$ - средняя аномалия, $u = nt - LA$
$n$ - средннее дневное перемещение Солнца в эклиптике, $LA$ - долгота апогея.
Собирая вместе формулы, получим:
$L = nt - LA - c + LA$
$L = nt - c$
Казалось бы, долгота апогея сократилась, но она нужна нам для вычисления простафереза:
$c(u)=c(nt - LA)$
Перейдем к числам. Птолемей утверждал, что лето наступило через 94.5 дней после весеннего равноденствия. Умножаем $n$ на 94.5 и получаем 93°8'32". Апогей он при этом нашел равным 65°30'.
Тогда $u = 27°38'32. Входим с $u$ в таблицу простаферезов и находим $c$ примерно равным 1°. Точнее $с = 1°4'$. Вычитаем простаферез из $nt$ и получаем $L=92°4'32. Как так?! Это же лето. Летнее солнцестояние. Должно быть $L = 90°$.
Далее. Максимальный простаферез, как следует из таблицы, равен 2°23'. Следовательно "дуга равномерного движения", как говаривал Птолемей, в летнее солнцестояние не может превышать 92°23'. Если мы поделим данную величину на среднюю скорость Солнца в эклиптике, то получим 93 дня, 17 часов и 30 мин. Это максимум для данного эксцентриситета.
А теперь давайте посчитаем, когда наступит лето у Птолемея с его значениями эксцентриситета $e = 1/24$ и долготой апогея 65°30'.
По теореме синусов
$\sin c = e \sin v$,
Далее, $c = u - v$, $v = L - LA$, $u = nt - LA$, откуда
$c = nt - L$
Солнцестояние это $L = 90°$
$\sin(nt - 90) = e \sin(90 - LA)$
$-\cos nt = e \cos LA$
$t = \arccos(-e \cos LA)/n$
Подставляя нужные значения: $t = 92d 7h 35m$
А что будет с осенью? $L = 180°$
$\sin(nt - 180) = e \sin(180 - LA)$
$-\sin nt = e \sin LA$
$t = \arcsin(-e \sin LA)/n$
Подставляем нужные значения, выбирая значение $\arcsin$ c учетом, того, что долгота Солнца равна 180°: $t = 182d 4h 9m$
Это существенно меньше, чем 187d Птолемея. Таким образом, значения эксцентриситета и долготы апогея не могли быть получены Птолемеем из наблюдений.
Как же вычислить праметры эксцентрической модели, имея интервалы времени между весенним равноденствием, летним солнцестоянием и осенним равноденствием?
Очень просто. Не прибегая к сложным геометрическим построениям.
Основное уравнение то же, что и раньше:
$\sin(nt - L) = e \sin(L - LA)$
$L = 90° : -\cos nt_1 = e \cos LA$
$L = 180°: -\sin nt_2 = e \sin LA$
$\tg LA = \sin nt_2 / \cos nt_1$
$e = -\cos nt_1 / \cos LA$

 Профиль  
                  
 
 Re: Лето Птолемея
Сообщение15.08.2023, 09:32 
Админ форума


02/02/19
2460
Ingus
А что предлагается обсудить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Лето Птолемея
Сообщение15.08.2023, 17:22 
Аватара пользователя


11/04/14
561
1. Верно ли то, что параметры эксцентрической модели Птолемея $e = 1/24$ и долгота апогея 65°30' приводят в Лето через 92 дня 7 часов и 35 минут, а вовсе не через 94.5, как он утверждал?
2. Верно ли то, что из наблюдений Птолемея нельзя получить его параметры эксцентра для Солнца - $e = 1/24$ и долгота апогея 65°30'?

 Профиль  
                  
 
 Re: Лето Птолемея
Сообщение15.08.2023, 19:17 
Аватара пользователя


11/04/14
561
"Истинная аномалия Солнца в определенный день $t$ после весеннего равноденствия вычисляется по формуле:"
Правильно - "истинная долгота Солнца"

-- 15.08.2023, 20:26 --

Ещё один вопрос. Допустим мы с высокой точностью нашли интервалы времени между весенним равноденствием и летним солнцестоянием $t_1$ и между весенним и осенним равноденствиями - $t_2$.
Верно ли то, что мы можем найти параметры эксцентра - эксцентриситет и долготу апогея по формулам:
$\tg LA = \sin nt_2 / \cos nt_1$
$e = -\cos nt_1 / \cos LA$
где $n$ - среднее суточное движение Солнца

 Профиль  
                  
 
 Re: Лето Птолемея
Сообщение15.08.2023, 21:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12393
Озвучьте, пожалуйста, вывод. Тогда будет проще понять актуальность вопроса.

 Профиль  
                  
 
 Re: Лето Птолемея
Сообщение17.08.2023, 21:53 
Аватара пользователя


11/04/14
561
Утундрий в сообщении #1605409 писал(а):
Озвучьте, пожалуйста, вывод. Тогда будет проще понять актуальность вопроса.



Птолемей в Альмагесте III.4 утверждает, что согласно его наблюдениям между весенним равноденствием и летним солнцестоянием прошло 94 и 1/2 дня, а от летнего солнцестояния до осеннего равноденствия 92 и 1/2 дня. С помощью своих геометрических построений он находит параметры эксцентра - эксцентриситет 1/24 и долготу апогея 65;30.
Вывод такой.
Я утверждаю, что с такими интервалами времени между равноденствиями и солнцестоянием невозможно получить указанные параметры эксцентра, а исходя из указанных параметров невозможно получить интервалы, которые якобы наблюдал Птолемей. Более того, ни при каком значении апогея при эксцентриситете 1/24 невозможно получить интервал 94 и 1/2 дня между весенним равноденствием и летним солнцестоянием.

 Профиль  
                  
 
 Re: Лето Птолемея
Сообщение17.08.2023, 21:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1813
Москва
Обвинения в жульничестве Птолемея не новость, см. например
https://www.trv-science.ru/2023/03/kak- ... ptolemeem/

 Профиль  
                  
 
 Re: Лето Птолемея
Сообщение17.08.2023, 22:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
4644
Ingus в сообщении #1605662 писал(а):
эксцентриситет 1/24 и долготу апогея 65;30.

А что такое эксцентриситет и долгота апогея у Птолемея?

 Профиль  
                  
 
 Re: Лето Птолемея
Сообщение19.08.2023, 12:35 
Аватара пользователя


11/04/14
561
alisa-lebovski в сообщении #1605663 писал(а):
Обвинения в жульничестве Птолемея не новость, см. например
https://www.trv-science.ru/2023/03/kak- ... ptolemeem/

Я не обвиняю Птолемея в жульничестве. Я только хочу подтвреждения правильности или ошибочности своих выкладок от экспертов

-- 19.08.2023, 13:46 --

Geen в сообщении #1605666 писал(а):
Ingus в сообщении #1605662 писал(а):
эксцентриситет 1/24 и долготу апогея 65;30.

А что такое эксцентриситет и долгота апогея у Птолемея?

Изображение
Эксцентриситет - это смещение центра эксцентрического круга, по которому происходит равномерное видимое движение Солнца - OM на правой картинке. А долгота апогея, это угол между направлением этого смещения и направлением на точку весеннего равноденствия. К слову сказать, долгота апогея Солнца в геоцетрической модели соответствует долготе перигелия орбиты Земли в гелиоцентрической модели.

 Профиль  
                  
 
 Re: Лето Птолемея
Сообщение19.08.2023, 14:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
4644
Ingus в сообщении #1605831 писал(а):
это смещение центра эксцентрического круга

Это размерная величина?

 Профиль  
                  
 
 Re: Лето Птолемея
Сообщение19.08.2023, 18:22 
Аватара пользователя


11/04/14
561
Geen в сообщении #1605846 писал(а):
Ingus в сообщении #1605831 писал(а):
это смещение центра эксцентрического круга

Это размерная величина?

Нет. Её измеряют в долях радиуса окужности эксцентра, который принимают равным 1 или 60, в зависимости от договоренности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Лето Птолемея
Сообщение03.11.2023, 22:40 
Аватара пользователя


11/04/14
561
Я нашел ошибку в своих выкладках... Как удалить тему?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, Jnrty, Aer, Парджеттер, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group