Лето Птолемея

[Ingus]

Птолемей, используя наблюдения предшественников, а также свои собственные - "точнейшие, произведенные нами в 463 году после смерти Александра" (см. Альмагест), посчитал, что астрономическое лето (долгота Солнца в эклиптике равна 90°) наступает через 94.5 дня после весеннего равноденствия. Кроме того, он посчитал, что среднее движение Солнца по эклиптике в шестидесятых долях составляет: $0;59,8,17,13,12,31 °/d$
(полный оборот за 365.2467 сут - это примерно на 6 мин больше принятого сейчас значения тропического года 365.2424).
Расчет истинной долготы Солнца в эксцентрической модели весьма прост. Истинная долгота Солнца отличается от средней на величину так называемого простафереза - разницы между средней аномалией $u$ и истинной аномалией $v$ (Рис. 1). Очевидно, что если $u < 180°$, то $u > v$ и $c > 0$. Соответственно, если $u > 180°$, то $c < 0$.

Рис. 1.
Для конкретного эксцентриситета простаферез вычисляется по формуле:

$\tg c = e \sin u / (1 + e \cos u)$

Птолемей выполнил расчет простафереза для $e = 1/ 24$ без обращения к современным тригонометрическим фунциям, но с высочайшей точностью, ошибка не превышает 1 угловой минуты.

Рис. 2
Истинная аномалия Солнца в определенный день $t$ после весеннего равноденствия вычисляется по формуле:
$L=v+LA$,
где $v$ - истинная аномалия, $v = u - c$
$u$ - средняя аномалия, $u = nt - LA$
$n$ - средннее дневное перемещение Солнца в эклиптике, $LA$ - долгота апогея.
Собирая вместе формулы, получим:
$L = nt - LA - c + LA$
$L = nt - c$
Казалось бы, долгота апогея сократилась, но она нужна нам для вычисления простафереза:
$c(u)=c(nt - LA)$
Перейдем к числам. Птолемей утверждал, что лето наступило через 94.5 дней после весеннего равноденствия. Умножаем $n$ на 94.5 и получаем 93°8'32". Апогей он при этом нашел равным 65°30'.
Тогда $u = 27°38'32. Входим с $u$ в таблицу простаферезов и находим $c$ примерно равным 1°. Точнее $с = 1°4'$. Вычитаем простаферез из $nt$ и получаем $L=92°4'32. Как так?! Это же лето. Летнее солнцестояние. Должно быть $L = 90°$.
Далее. Максимальный простаферез, как следует из таблицы, равен 2°23'. Следовательно "дуга равномерного движения", как говаривал Птолемей, в летнее солнцестояние не может превышать 92°23'. Если мы поделим данную величину на среднюю скорость Солнца в эклиптике, то получим 93 дня, 17 часов и 30 мин. Это максимум для данного эксцентриситета.
А теперь давайте посчитаем, когда наступит лето у Птолемея с его значениями эксцентриситета $e = 1/24$ и долготой апогея 65°30'.
По теореме синусов
$\sin c = e \sin v$,
Далее, $c = u - v$, $v = L - LA$, $u = nt - LA$, откуда
$c = nt - L$
Солнцестояние это $L = 90°$
$\sin(nt - 90) = e \sin(90 - LA)$
$-\cos nt = e \cos LA$
$t = \arccos(-e \cos LA)/n$
Подставляя нужные значения: $t = 92d 7h 35m$
А что будет с осенью? $L = 180°$
$\sin(nt - 180) = e \sin(180 - LA)$
$-\sin nt = e \sin LA$
$t = \arcsin(-e \sin LA)/n$
Подставляем нужные значения, выбирая значение $\arcsin$ c учетом, того, что долгота Солнца равна 180°: $t = 182d 4h 9m$
Это существенно меньше, чем 187d Птолемея. Таким образом, значения эксцентриситета и долготы апогея не могли быть получены Птолемеем из наблюдений.
Как же вычислить праметры эксцентрической модели, имея интервалы времени между весенним равноденствием, летним солнцестоянием и осенним равноденствием?
Очень просто. Не прибегая к сложным геометрическим построениям.
Основное уравнение то же, что и раньше:
$\sin(nt - L) = e \sin(L - LA)$
$L = 90° : -\cos nt_1 = e \cos LA$
$L = 180°: -\sin nt_2 = e \sin LA$
$\tg LA = \sin nt_2 / \cos nt_1$
$e = -\cos nt_1 / \cos LA$

[Ende]

Ingus
А что предлагается обсудить?

[Ingus]

1. Верно ли то, что параметры эксцентрической модели Птолемея $e = 1/24$ и долгота апогея 65°30' приводят в Лето через 92 дня 7 часов и 35 минут, а вовсе не через 94.5, как он утверждал?
2. Верно ли то, что из наблюдений Птолемея нельзя получить его параметры эксцентра для Солнца - $e = 1/24$ и долгота апогея 65°30'?

[Ingus]

"Истинная аномалия Солнца в определенный день $t$ после весеннего равноденствия вычисляется по формуле:"
Правильно - "истинная долгота Солнца"

-- 15.08.2023, 20:26 --

Ещё один вопрос. Допустим мы с высокой точностью нашли интервалы времени между весенним равноденствием и летним солнцестоянием $t_1$ и между весенним и осенним равноденствиями - $t_2$.
Верно ли то, что мы можем найти параметры эксцентра - эксцентриситет и долготу апогея по формулам:
$\tg LA = \sin nt_2 / \cos nt_1$
$e = -\cos nt_1 / \cos LA$
где $n$ - среднее суточное движение Солнца

[Утундрий]

Озвучьте, пожалуйста, вывод. Тогда будет проще понять актуальность вопроса.

[Ingus]

Утундрий в сообщении #1605409 писал(а):

Озвучьте, пожалуйста, вывод. Тогда будет проще понять актуальность вопроса.

Птолемей в Альмагесте III.4 утверждает, что согласно его наблюдениям между весенним равноденствием и летним солнцестоянием прошло 94 и 1/2 дня, а от летнего солнцестояния до осеннего равноденствия 92 и 1/2 дня. С помощью своих геометрических построений он находит параметры эксцентра - эксцентриситет 1/24 и долготу апогея 65;30.
Вывод такой.
Я утверждаю, что с такими интервалами времени между равноденствиями и солнцестоянием невозможно получить указанные параметры эксцентра, а исходя из указанных параметров невозможно получить интервалы, которые якобы наблюдал Птолемей. Более того, ни при каком значении апогея при эксцентриситете 1/24 невозможно получить интервал 94 и 1/2 дня между весенним равноденствием и летним солнцестоянием.

[alisa-lebovski]

Обвинения в жульничестве Птолемея не новость, см. например
https://www.trv-science.ru/2023/03/kak- ... ptolemeem/

[Geen]

Ingus в сообщении #1605662 писал(а):

эксцентриситет 1/24 и долготу апогея 65;30.

А что такое эксцентриситет и долгота апогея у Птолемея?

[Ingus]

alisa-lebovski в сообщении #1605663 писал(а):

Обвинения в жульничестве Птолемея не новость, см. например
https://www.trv-science.ru/2023/03/kak- ... ptolemeem/

Я не обвиняю Птолемея в жульничестве. Я только хочу подтвреждения правильности или ошибочности своих выкладок от экспертов

-- 19.08.2023, 13:46 --

Geen в сообщении #1605666 писал(а):

Ingus в сообщении #1605662 писал(а):

эксцентриситет 1/24 и долготу апогея 65;30.

А что такое эксцентриситет и долгота апогея у Птолемея?

Эксцентриситет - это смещение центра эксцентрического круга, по которому происходит равномерное видимое движение Солнца - OM на правой картинке. А долгота апогея, это угол между направлением этого смещения и направлением на точку весеннего равноденствия. К слову сказать, долгота апогея Солнца в геоцетрической модели соответствует долготе перигелия орбиты Земли в гелиоцентрической модели.

[Geen]

Ingus в сообщении #1605831 писал(а):

это смещение центра эксцентрического круга

Это размерная величина?

[Ingus]

Geen в сообщении #1605846 писал(а):

Ingus в сообщении #1605831 писал(а):

это смещение центра эксцентрического круга

Это размерная величина?

Нет. Её измеряют в долях радиуса окужности эксцентра, который принимают равным 1 или 60, в зависимости от договоренности.

[Ingus]

Я нашел ошибку в своих выкладках... Как удалить тему?