Столкнулся с пространствами Орлича, но почему-то по ним очень мало литературы в интернет-доступе. Потому прошу проверить правильность собственных выводов (утверждения ниже).
Пусть

- некоторое измеримое пространство с вероятностной мерой

. Измеримые функции

, для которых конечна следующая величина

как известно, (с естественной оговоркой о классах эквивалентности отностельно меры) образуют банахово пространство Орлича с нормой Люксембурга

, которое договоримся обозначать через

.
Рассмотрим также норму:
Утверждение 1. Нормы

(Доказательство)
В одну сторону. Пусть

. Тогда, с учетом того, что для любого

выполняется

для любого

можем записать

откуда вытекает, что

. В силу произвольности выбора

, отсюда, в свою очередь, следует

.
В обратную сторону. Пусть снова

. Тогда
![$\begin{equation*}
{\displaystyle\int_\Omega} e^{\frac{|\xi|}{K}}d\pi\, =\, 1 + \sum_{i=1}^\infty\left( \frac{1}{K}\bigg[\frac{1}{i!} \int_\Omega |\xi|^i\,d\mathbb{\pi}\bigg]^{\frac{1}{i}}\right)^i
\end{equation*}$ $\begin{equation*}
{\displaystyle\int_\Omega} e^{\frac{|\xi|}{K}}d\pi\, =\, 1 + \sum_{i=1}^\infty\left( \frac{1}{K}\bigg[\frac{1}{i!} \int_\Omega |\xi|^i\,d\mathbb{\pi}\bigg]^{\frac{1}{i}}\right)^i
\end{equation*}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332b447f56b55391070db831ed01274482.png)
Чтобы значение в правой части этого равенства было меньше двух, необходимо, чтобы по крайней мере все члены ряда не превосходили единицы, а значит, для любого

должно выполняться:
![$\begin{equation*}
K \leqslant \bigg[\frac{1}{i!} \int_\Omega |\xi|^i\,d\mathbb{\pi}\bigg]^{\frac{1}{i}}\leqslant \|{\xi}\|_{O}
\end{equation*}$ $\begin{equation*}
K \leqslant \bigg[\frac{1}{i!} \int_\Omega |\xi|^i\,d\mathbb{\pi}\bigg]^{\frac{1}{i}}\leqslant \|{\xi}\|_{O}
\end{equation*}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/6/4/d64e5d847fd1d5325c2dccd5df23917d82.png)
откуда и вытекает

.
Утверждение 2. Пространство

является банаховой алгеброй.
(Доказательство)
Для любых

и

в силу неравенства Коши-Буняковского:
![$ \begin{equation*}
\bigg[ {\displaystyle\int_\Omega} |\xi\, \eta|^s d\pi \bigg]^{\frac{1}{s}}\, \leqslant \, \bigg[{\displaystyle\int_\Omega} |\xi|^{2 s} d\pi\bigg]^{\frac{1}{2s}}\bigg[{\displaystyle\int_\Omega} |\eta|^{2 s} d\pi\bigg]^{\frac{1}{2s}} \, \leqslant \, \|{\xi}\|_{O}\|{\eta}\|_{O},
\end{equation*}$ $ \begin{equation*}
\bigg[ {\displaystyle\int_\Omega} |\xi\, \eta|^s d\pi \bigg]^{\frac{1}{s}}\, \leqslant \, \bigg[{\displaystyle\int_\Omega} |\xi|^{2 s} d\pi\bigg]^{\frac{1}{2s}}\bigg[{\displaystyle\int_\Omega} |\eta|^{2 s} d\pi\bigg]^{\frac{1}{2s}} \, \leqslant \, \|{\xi}\|_{O}\|{\eta}\|_{O},
\end{equation*}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/a/a/4aa7a89f05930fa90e4e316636c95da382.png)
откуда окончательно получаем

.
p.s. И может быть, посоветуете
доступные в интернете похожие результаты, чтобы не передоказывать, а сослаться (если, конечно, утверждения верны).
Спасибо!