Одно пространство Орлича. Эквив-ность норм. Банах. алгебра?

[_hum_]

Столкнулся с пространствами Орлича, но почему-то по ним очень мало литературы в интернет-доступе. Потому прошу проверить правильность собственных выводов (утверждения ниже).

Пусть $(\Omega, \Sigma, \pi)$ - некоторое измеримое пространство с вероятностной мерой $\pi$. Измеримые функции $\xi = \xi(\omega)$, для которых конечна следующая величина
$ \begin{equation*} \|{\xi}\|'_{O} = \inf \bigg\{K > 0 \,:\, \int_\Omega e^{\frac{|\xi(\omega)|}{K}}d\pi(\omega) \leqslant 2 \bigg\} , \end{equation*} $
как известно, (с естественной оговоркой о классах эквивалентности отностельно меры) образуют банахово пространство Орлича с нормой Люксембурга $\|{\cdot}\|'_{O}$ , которое договоримся обозначать через $O(\Omega,\pi)$.
Рассмотрим также норму:
$\begin{equation*} \|\xi\|_{O} = \sup_{s \geqslant 1} \Bigg[\frac{1}{\Gamma(s + 1) } \int_\Omega |\xi(\omega)|^s d\mathbb{\pi}(\omega)\Bigg]^{\frac{1}{s}} . \end{equation*} $
Утверждение 1. Нормы $\|{\xi}\|'_{O}$ и $\|{\xi}\|_{O}$ эквивалентны.\par $

(Доказательство)

В одну сторону. Пусть $K \geqslant \Norm{\xi}'_{O}$. Тогда, с учетом того, что для любого $t \geqslant 0$ выполняется
$\begin{equation*} {\displaystyle\int_{|\xi|\geqslant t}}d\pi\, =\, {\displaystyle\int_{e^{\left|\!\frac{\xi}{K}\!\right|}\, \geqslant\, e^{\frac{t}{K}}}}d\pi\, \leqslant \, e^{-\frac{t}{K}}{\displaystyle\int_\Omega} e^{\left|\!\frac{\xi}{K}\!\right|} d\pi \, \leqslant \, e^{-\frac{t}{K}} 2, \end{equation*}$
для любого $s \geqslant 1$ можем записать
$\begin{equation*} {\displaystyle\int_\Omega} |\xi|^sd\pi\, =\, {\displaystyle\int_0^\infty}\!\!\!\!\int_{|\xi|^s\,\geqslant u\,}d\pi\, du\,=\, {\displaystyle\int_0^\infty}\!\!\!\!\int_{|\xi|\,\geqslant t\,}d\pi\, s\, t^{s-1}dt\, \leqslant \, 2{\displaystyle\int_0^\infty} e^{-\frac{t}{K}}\, s\, t^{s-1}\, =\, 2 K^s \,\Gamma(s + 1), \end{equation*}$
откуда вытекает, что $\|{\xi}\|_{O} \leqslant 2 K$. В силу произвольности выбора $K$, отсюда, в свою очередь, следует $\|{\xi}\|_{O} \leqslant 2\|{\xi}\|'_{O}$.

В обратную сторону. Пусть снова $K \geqslant \|{\xi}\|'_{O}$. Тогда
$\begin{equation*} {\displaystyle\int_\Omega} e^{\frac{|\xi|}{K}}d\pi\, =\, 1 + \sum_{i=1}^\infty\left( \frac{1}{K}\bigg[\frac{1}{i!} \int_\Omega |\xi|^i\,d\mathbb{\pi}\bigg]^{\frac{1}{i}}\right)^i \end{equation*}$
Чтобы значение в правой части этого равенства было меньше двух, необходимо, чтобы по крайней мере все члены ряда не превосходили единицы, а значит, для любого $i = 1,2,\dots$ должно выполняться:
$\begin{equation*} K \leqslant \bigg[\frac{1}{i!} \int_\Omega |\xi|^i\,d\mathbb{\pi}\bigg]^{\frac{1}{i}}\leqslant \|{\xi}\|_{O} \end{equation*}$
откуда и вытекает $\|{\xi}\|'_{O} \leqslant \|{\xi}\|_{O}$.

Утверждение 2. Пространство $O(\Omega,\pi)$ является банаховой алгеброй.

(Доказательство)

Для любых $\xi, \eta \in O(X,\pi) $ и $s \geqslant 1$ в силу неравенства Коши-Буняковского:
$ \begin{equation*} \bigg[ {\displaystyle\int_\Omega} |\xi\, \eta|^s d\pi \bigg]^{\frac{1}{s}}\, \leqslant \, \bigg[{\displaystyle\int_\Omega} |\xi|^{2 s} d\pi\bigg]^{\frac{1}{2s}}\bigg[{\displaystyle\int_\Omega} |\eta|^{2 s} d\pi\bigg]^{\frac{1}{2s}} \, \leqslant \, \|{\xi}\|_{O}\|{\eta}\|_{O}, \end{equation*}$
откуда окончательно получаем $\|{\xi\,\eta}\|_{O} \leqslant \|{\xi}\|_{O}\|{\eta}\|_{O}$.

p.s. И может быть, посоветуете доступные в интернете похожие результаты, чтобы не передоказывать, а сослаться (если, конечно, утверждения верны).

Спасибо!