Может ли в знаменателе производной быть функция

[Kubrikov]

Уважаемые участники!
Производная определяется как предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении приращения независимой переменной к нулю.

Может ли в знаменателе быть не просто приращение независимой переменной, а приращение некоторой функции от независимой переменной?

Можно ли определить производную, например, вот так.

Для функции $\frac{x^{3}}{x^{2}}$

Производная ее: $\lim\limits_{\Delta{x} \to 0} \frac{(x+\Delta{x})^{3}}{(x+\Delta{x})^{2}}$

[Null]

Вы имели в виду: $\lim\limits_{\Delta{x} \to 0} \frac{(x+\Delta{x})^{3}-x^3}{(x+\Delta{x})^{2}-x^2}$ ?
Просто обычно(для хороших функций) $\lim\limits_{\Delta{x} \to 0}\frac{\Delta f}{\Delta g}=\frac{f'}{g'}$ - сводиться к обычной производной(Которую обычно просто найти).

[Евгений Машеров]

Даже если забыть, что $\frac {x^3}{x^2}=x$, производная всё равно будет $\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\frac {(x+\Delta x)^3}{(x+\Delta x)^2}-\frac {x^3}{x^2}}{\Delta x}=1$

[slavav]

Для неявных функций производные в знаменателе могут иметь сложные выражения: формула для производной неявной функции.

[Kubrikov]

Спасибо!
Разбираюсь с цепным правилом дифференцирования сложной функции.

$\frac{\text{d}f}{\text{d}x}=\frac{\text{d}f}{\text{d}u}\times\frac{\text{d}u}{\text{d}x}$

Не понимаю вот чего. $\frac{\text{d}u}{\text{d}x}$ продифференцировать просто, потому что $dx$ - независимое переменное.

А вот как дифференцировать $\frac{\text{d}f}{\text{d}u}$.

$du$ это же составной объект. В знаменателе стоит $u'\times dx$

$u'$ это масштабирующий коэффициент, для функций сложнее нелинейной $du$ неравномерное.

[KhAl]

Kubrikov писал(а):

$\frac{\text{d}f}{\text{d}x}=\frac{\text{d}f}{\text{d}u}\times\frac{\text{d}u}{\text{d}x}$

Это мнемоническое правило. Воспринимайте так: нужно рассмотреть функцию $f(u)$ независимой переменной $u$, и найти её производную в точке $u = u(x)$.

Правильно будет так:
$\frac{\text{d}f(u(x))}{\text{d}x}\big|_{x=x_0} = \frac{\text{d}f(y)}{\text{d}y}\big|_{y=u(x_0)} \times \frac{\text{d}u(x)}{\text{d}x}\big|_{x=x_0}$
но, по понятным причинам, так не пишут.

[Kubrikov]

Шкала с $x$ - она-то равномерная. А вот шкала $u$, в которой все точки есть функции от $x$ , получается как бы неравномерной. Интуитивно тяжело воспринимается ))

Хотя Кантор писал про "всюдуплотность", что между точками промежутков нет и какую бы точку мы не взяли на шкале независимых переменных, ей будет соответствовать точка на шкале зависимых переменных.

[Kubrikov]

Подскажите пожалуйста, можно ли представить цепное правило следующим образом.

Есть функция $f=3\times{u}$ , есть $u=2\times{x}$ , есть их композиция $f=3\times(2\times{x})$. Производная композиции есть $3\times{2}$

Есть три тележки, которые катятся одна по другой. Ведущие колеса соединены гибкими валами с редукторами $2:1$ и $3:1$. Толкая нижнюю тележку, мы приводим в движение верхние. Тележки могут свободно перемещаться друг относительно друга, но скорость вращения колес задается редукторами.

Нижнюю тележку толкаем со скоростью $1$, средняя толкается в два раза быстрее.

Верхняя толкается в три раза быстрее относительно средней. Нижнюю тележку мы при этом как бы отрезаем, верхняя катится по средней "независимо" от нижней.