O-большое и o-малое

[gevaraweb]

Никто не обратил внимания, что база не указана ?

jol в сообщении #1604282 писал(а):

Будут ли верны следующие записи разложения в ряды Маклорена?

Вообще говоря, нет. При малых x (стремящихся к нулю) - да.

[Combat Zone]

Ну почему не обратил. И что база не указана, и что не ряд. Но не докапываться же до каждого слова.

[Утундрий]

Red_Herring в сообщении #1604517 писал(а):

Утверждения $\sin(x)=x+o(x)$, $\sin(x)=x+O(x^2)$, $\sin(x)=x+O(x^3)$, $\sin(x)=x-\frac{1}{6}x^3 +o(x^3)$, ... справедливы (хотя разной степени силы).

Снова новые веянья? В старых книжках, по которым меня учили, запись $\sin x=x+O(x^2)$ считалась бы неверной. И в этом был смысл. Не знаешь порядок отброшенного хвоста - пиши о-малое, а если пишешь О-большое, так уж будь добёр, выясни порядок убывания.

[mihaild]

(Оффтоп)

Утундрий в сообщении #1604555 писал(а):

В старых книжках, по которым меня учили, запись $\sin x=x+O(x^2)$ считалась бы неверной

А что это за книжка, и что за странное определение $O$?
Для желающих точно указывать порядок роста есть $\Theta$.

[Red_Herring]

Утундрий в сообщении #1604555 писал(а):

Снова новые веянья? В старых книжках, по которым меня учили

Это никак не новые веяния, этому я учился почти 60 лет назад.

Утундрий в сообщении #1604555 писал(а):

И в этом был смысл. Не знаешь порядок отброшенного хвоста - пиши о-малое, а если пишешь О-большое, так уж будь добёр, выясни порядок убывания.

Смысла никакого. Ну допустим я знаю, что порядок убывания как $x^2$ или лучше. Значит я, по вашему, должен писать $o(x)$ вместо гораздо более точного $O(x^2)$?!!

-- 09.08.2023, 05:31 --

Кроме общепринятых и общеупотребительных обозначений $f=o(g),\ f=O(g)$ и $f \sim g,\ f\asymp g$ есть и менее употребительные $g=\Omega(f),\ g=\omega (f),\ g=\Theta(f)$, причём $g\asymp f \iff g=\Theta(f)$

[Утундрий]

Что же, значит я плохо слушал на лекциях и всю жизнь употреблял $O$ в качестве $\Theta$. Кстати, когда Самарский в "Теории разностных схем" пишет, что порядок аппроксимации схемы $O(h^2+\tau)$ это $O$, $\Theta$ или О-самарское?

[Combat Zone]

О большое оно и в Африке О большое. В стандартном смысле оно понимается.

[Red_Herring]

Утундрий в сообщении #1604569 писал(а):

когда Самарский в "Теории разностных схем" пишет, что порядок аппроксимации схемы $O(h^2+\tau)$

Ну это для теплопроводности. Обычное $O$. Но тут можно сделать и такое же уточнение, как и для формулы $f(x)=f(0)+f'(0)x +O(x^2)$: обычно неулучшаемо, но в специальных частных случаях может быть и лучше.