O-большое и o-малое

[jol]

Добрый день, помогите, пожалуйста, с пониманием $O$/$o$ нотации.

Пусть имеем разложение $y(x)$ в ряд Тейлора для небольшого приращения $\delta x$:

$$ y(x + \delta x) = y(x) + y'(x) \delta x + \varepsilon(\delta x), \qquad(1)$$

где $\varepsilon $ — ошибка.

Как переписать это разложение с использованием $O$/$o$ нотации? Верны ли следующие записи?

$$ y(x + \delta x) = y(x) + y'(x) \delta x + o(\delta x) \text{, т.е. } \varepsilon (\delta x) = o(\delta x) \qquad (2)$$

$$ y(x + \delta x) = y(x) + y'(x) \delta x + O(\delta x^2) \text{, т.е. } \varepsilon (\delta x) = O(\delta x^2) \qquad (3)$$

[KhAl]

Первая запись является определением дифференцируемости (легко доказать эквивалентность)

Вторая, вообще говоря, неверна (см. $x\sqrt{|x|}$ в нуле), но верна для дважды дифференцируемых функций.

[jol]

KhAl, спасибо за помощь

Будут ли верны следующие записи разложения в ряды Маклорена?

$$ e^x = 1 + \frac x {1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + O(x^4) \qquad (4) $$

$$ e^x = 1 + \frac x {1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + o(x^3) \qquad (5)$$

$$ \sin x= x - \frac {x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + O(x^7) \qquad (6)$$

$$ \sin x= x - \frac {x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + o(x^5) \qquad (7)$$

[vicvolf]

Оцените остаточный член ряда Маклорена в форме Лагранжа и Пеано.

[Утундрий]

Агалогия здесь такая. О-большое ближе к равенству, а о-малое - к неравенству, поэтому с ним трудней ошибиться.

[tolstopuz]

Утундрий в сообщении #1604469 писал(а):

Агалогия здесь такая. О-большое ближе к равенству, а о-малое - к неравенству, поэтому с ним трудней ошибиться.

Я бы сказал, что О-большое похоже на нестрогое неравенство, а о-малое на строгое, просто символа для равенства нет ($\Theta$ мало кто употребляет) и вместо него обычно пишут О-большое. И обычно его хватает, потому что оценивают остаток сверху.

[Утундрий]

Проще говоря, чтобы заявить $x+O(x^3)$, нужно напрячься и проверить, что следующий член действительно имеет вид "что-то ненулевое $ \cdot x^3$", а если сказать $o(x)$, то пусть хоть $x^{12345}$ следующим будет, не важно.

[Combat Zone]

Утундрий в сообщении #1604488 писал(а):

"что-то ненулевое $ \cdot x^3$"

"что-то ненулевое $ {}\cdot x^3$"
Что-то может быть и нулевым, лишь бы финально ограниченным.

[Geen]

jol
Формулы 4 и 6 строже (дают более сильное ограничение на "остаток")

[Утундрий]

Combat Zone в сообщении #1604498 писал(а):

Что-то может быть и нулевым, лишь бы финально ограниченным.

Нет.

[Combat Zone]

Утундрий
Вы путаете О большое с чем-то другим.

[Red_Herring]

Утундрий Вы неправы.

[Утундрий]

Мы о степенном ряде или уже о чём-то другом? И потом, "что-то может быть нулевым, но..." звучит крайне странно. Нулевым может быть только нуль, безо всяких "но".

[Red_Herring]

Утундрий в сообщении #1604515 писал(а):

Мы о степенном ряде или уже о чём-то другом?

Да, мы о степенном ряде. Утверждения $\sin(x)=x+o(x)$, $\sin(x)=x+O(x^2)$, $\sin(x)=x+O(x^3)$, $\sin(x)=x-\frac{1}{6}x^3 +o(x^3)$, ... справедливы (хотя разной степени силы).

[bot]

jol. пока не привыкнете, можете просто считать $O(f(x))$ - это просто $a(x)f(x),$ где $a(x)$ ограничена в некоторой окрестности, а $o(f(x))$ - это $\alpha(x)f(x),$ где $\alpha(x)$ бесконечно малая.