Загадка о фигурах

[Leeb]

Хотелось бы поделиться с форумчанами одной загадкой, которую отправлял когда-то в телевизионное ЧГК (во времена, когда еще верил в чудеса, т.е. в то, что присланные вопросы могут принять для игры).
Даны четыре фигуры. Какая фигура является лишней?

(Присланная в ЧГК формулировка)

Перед вами изображение с четырьмя фигурами. Представив себе обычный лист бумаги, ответьте, какая фигура является лишней.

(Подсказки и комментарии)

Конечно, это не строго математическая задача, и этим она схожа со всякими "угадай что имел в виду автор", но имхо, она лучше большинства подобных загадок, т.к. в присланной формулировке есть прямой намек на конкретный ответ с конкретным обоснованием (лишняя - первая). Формулировка на форуме не содержит этого намека, а потому уже более чем допускает в качестве ответа любую из фигур, и каждое из обоснований может быть строгим математическим, поэтому если ответ не совпадает с "авторским", то это, естественно, ничего не говорит о его (не)корректности, пока есть хорошее обоснование этого ответа. В этом смысле я не настаиваю, что мой предполагаемый ответ чем-то лучше другого ответа с обоснованием - было бы интересно посмотреть, что придумают другие.

[diletto]

Кроме подразумеваемого авторского ответа, можно, как минимум, разделить по принципу "ориентируемое/неориентируемое многообразие".

[EUgeneUS]

Номера 2, 3, 4 можно сложить из "листа бумаги" растягиванием и склейкой.
Номер 1 без разрезов не получится
Имхо.

-- 08.08.2023, 17:25 --

Еще вариант ответа: 3.
Фигуры 1 и 2 имеют одну сторону.
Фигура 4 - три стороны
А у фигуры 3 - две стороны, как у листа бумаги.

[Leeb]

diletto в сообщении #1604440 писал(а):

Кроме подразумеваемого авторского ответа, можно, как минимум, разделить по принципу "ориентируемое/неориентируемое многообразие".

Фигура 4 не является многообразием, как вы собираетесь вводить на нем ориентацию? Более того, если попытаться ввести на ней ориентацию как у симплициального комплекса (предварительно как-нибудь триангулировав), то и здесь не будет ничего хорошего - при любых ориентациях каждого из трех прямоугольников (которые, естественно, обязаны будут быть подкомплексами, или хотя бы могут стать подкомплексами в каком-либо подразбиении) не получится согласовать их ориентации на их общем ребре. В этом смысле фигура 4 тоже неориентируема.

-- 08.08.2023, 17:54 --

EUgeneUS в сообщении #1604441 писал(а):

Последний раз редактировалось EUgeneUS
08.08.2023, 17:25, всего редактировалось 1 раз.


Номера 2, 3, 4 можно сложить из "листа бумаги" растягиванием и склейкой.
Номер 1 без разрезов не получится
Имхо.

Фигура 1 тоже получается путем указанных вами действий (даже более того - одним "растягиванием").

-- 08.08.2023, 17:55 --

Имеет ли смысл писать загаданный ответ и обоснование (под спойлером)?

[diletto]

Leeb в сообщении #1604445 писал(а):

Фигура 4 не является многообразием, как вы собираетесь вводить на нем ориентацию? Более того, если попытаться ввести на ней ориентацию как у симплициального комплекса (предварительно как-нибудь триангулировав), то и здесь не будет ничего хорошего - при любых ориентациях каждого из трех прямоугольников (которые, естественно, обязаны будут быть подкомплексами, или хотя бы могут стать подкомплексами в каком-либо подразбиении) не получится согласовать их ориентации на их общем ребре. В этом смысле фигура 4 тоже неориентируема.

Здесь вы, наверное, правы. Мои познания, увы, уровня научпопа.

Leeb в сообщении #1604445 писал(а):

Фигура 1 тоже получается путем указанных вами действий (даже более того - одним "растягиванием").

Не могу представить себе, как исполнить первую фигуру без разрезов.

[Leeb]

diletto в сообщении #1604452 писал(а):

Leeb в сообщении #1604445 писал(а):

Фигура 4 не является многообразием, как вы собираетесь вводить на нем ориентацию? Более того, если попытаться ввести на ней ориентацию как у симплициального комплекса (предварительно как-нибудь триангулировав), то и здесь не будет ничего хорошего - при любых ориентациях каждого из трех прямоугольников (которые, естественно, обязаны будут быть подкомплексами, или хотя бы могут стать подкомплексами в каком-либо подразбиении) не получится согласовать их ориентации на их общем ребре. В этом смысле фигура 4 тоже неориентируема.

Здесь вы, наверное, правы. Мои познания, увы, уровня научпопа.

Leeb в сообщении #1604445 писал(а):

Фигура 1 тоже получается путем указанных вами действий (даже более того - одним "растягиванием").

Не могу представить себе, как исполнить первую фигуру без разрезов.

Первая фигура гомеоморфна обычному листу бумаги. Считать ли "растягивание" края (в предположении, что наш "лист бумаги" сделан из "достаточно эластичного материала") "вырезанием" - спор об определениях. То есть да, можно считать эту фигуру вырезанием из бумаги, но ее можно так же получить из того же листа и без "вырезаний". Другими словами, EUgeneUS предлагает следующее в своем первом решении - фигуры 2,3 и 4 можно получить факторизацией прямоугольника, но фигуру 1 тоже можно получить факторизацией прямоугольника - причем даже проще, чем все остальные.

[Утундрий]

Фигуры $2$ и $3$ - круглообразные, а фигуры $1$ и $4$ - плоскообразные. Поэтому лишняя здесь - фигура $5$, которая поэтому и не показана.

[Leeb]

На самом деле, загадка получилась таки плохой. Вот ответ с обоснованием, которое я загадывал:

(Оффтоп)

Фигура 1 лишняя, т.к. она единственная, которую можно вырезать из листа бумаги, или, что то же самое - из плоскости (замечу, что это не означает, что ее нельзя получить как-либо по-другому). Остальные фигуры вырезать из плоскости нельзя, например, потому что в каждую из них вкладывается граф $K_{3,3}$, который в плоскость вложить нельзя.

Однако уже прозвучавшее в теме слово "гомеоморфизм" дает более простое возможное обоснование - фигура 1 гомеоморфна листу бумаги, а остальные - нет.

Возможные ответы для других фигур:
Лишняя 2, т.к. только она гомотопически эквивалентна букету двух окружностей.
Лишняя 3, т.к. только она гомотопически эквивалентна окружности.
Лишняя 4, т.к. только она не является многообразием (с краем или без).

[diletto]

Leeb в сообщении #1604461 писал(а):

Первая фигура гомеоморфна обычному листу бумаги. Считать ли "растягивание" края (в предположении, что наш "лист бумаги" сделан из "достаточно эластичного материала") "вырезанием" - спор об определениях. То есть да, можно считать эту фигуру вырезанием из бумаги, но ее можно так же получить из того же листа и без "вырезаний".

Т.е., скажем, круг с радиальным разрезом до центра считается гомеоморфным просто кругу?

Leeb в сообщении #1604464 писал(а):

Фигура 1 лишняя, т.к. она единственная, которую можно вырезать из листа бумаги

Да, этот ответ я и предполагал авторским, т.к. видел "задачку с домиком" когда-то...

[Leeb]

diletto в сообщении #1604472 писал(а):

Т.е., скажем, круг с радиальным разрезом до центра считается гомеоморфным просто кругу?

Открытый круг с выкинутым радиусом (полуинтервалом) гомеоморфен открытому кругу (легко увидеть гомеоморфизм между кругом с разрезом и кругом с выброшенным сектором, а последний совсем очевидно гомеоморфен кругу). Замкнутый круг с выкинутым радиусом-отрезком не гомеоморфен замкнутому кругу из-за проблем с замкнутостью (это будет сектор круга, у которого стороны сектора выкинуты, а оставшаяся дуга - нет), но в реальной жизни разрез сразу же замыкает обе открытые "половинки" получившегося "края".

[diletto]

Leeb в сообщении #1604475 писал(а):

легко увидеть гомеоморфизм между кругом с разрезом и кругом с выброшенным сектором, а последний совсем очевидно гомеоморфен кругу

Мда, я явно спутал гомеоморфизм с диффеоморфизмом :(

[Leeb]

diletto в сообщении #1604478 писал(а):

Leeb в сообщении #1604475 писал(а):

легко увидеть гомеоморфизм между кругом с разрезом и кругом с выброшенным сектором, а последний совсем очевидно гомеоморфен кругу

Мда, я явно спутал гомеоморфизм с диффеоморфизмом :(

Открытый круг и круг с "разрезом" диффеоморфны. Замкнутые - конечно же, нет.

[diletto]

Leeb в сообщении #1604479 писал(а):

Открытый круг и круг с "разрезом" диффеоморфны.

Безобразие какое. Может быть, есть какой-то морфизм, запрещающий "схлопывание" вырезанного сектора в радиальный разрез? А морфизм, запрещающий появление угла на гладком периметре?

[Leeb]

diletto
Не понял вопроса. У открытого круга нет никакого "гладкого периметра". А что такое

diletto в сообщении #1604482 писал(а):

"схлопывание" вырезанного сектора в радиальный разрез

вообще не ясно.

[diletto]

Leeb в сообщении #1604483 писал(а):

вообще не ясно.

Да, и правда... Проблемы вырезанного сектора не есть проблемы оставшегося круга...
В общем, просвещаться надо. Спасибо.