Симметричный тензор как сумма диад

[Утундрий]

Почему-то считал вопрос решённым, но сейчас вдруг засомневался. Можно ли произвольный симметричный тензор второго ранга $T_{ik}$ представить в виде конечной суммы слагаемых вида $a_i a_k$?

[ozheredov]

Утундрий в сообщении #1604215 писал(а):

Можно ли произвольный симметричный тенор второго ранга $T_{ik}$ представить в виде конечной суммы слагаемых вида $a_i a_k$?

В тенорах и тензорах я плохо разбираюсь, но вроде бы вообще любая матрица (= черно-белое изображение) представима в виде двумерного фурье-прообраза. Каждая базисная компонента как раз и есть произведение столбца и строки, т.е. диадная матрица, а поскольку исходная матрица конечная, то число компонентов ровно $mn$. Если она симметричная, то вроде бы из общих соображений компонент должно быть еще меньше.

[svv]

Если слагаемые вида $(-a_i a_k)$ тоже допускаются, то да: перейдём в базис, в котором матрица тензора диагональна, и там легко разложим.

Если не допускаются, то нет. Пусть $T_{ik}=a_ia_k+b_ib_k+c_ic_k$. Тогда
$T_{ik}x^ix^k=(a_ix^i)^2+(b_ix^i)^2+(c_ix^i)^2\geqslant 0$
Но матрица $T$ может быть отрицательно определённой.

(Я исходил из Вашего условия, что диады имеют вид $a_ia_k$, а не $a_ib_k$.)

[Утундрий]

svv в сообщении #1604226 писал(а):

Если слагаемые вида $(-a_i a_k)$ тоже допускаются, то да: перейдём в базис, в котором матрица тензора диагональна, и там легко разложим.

А как быть в псевдоевклиде, где такое приведение не всегда возможно?

[epros]

Утундрий в сообщении #1604248 писал(а):

А как быть в псевдоевклиде, где такое приведение не всегда возможно?

Приведение чего? Метрики? Дык, а построение локальной ИСО разве этого не предполагает (как раз с условием, что некоторые слагаемые разложения - со знаком минус)?

[Padawan]

Утундрий
В исходном вопросе Вы про метрику ничего не писали. Базис в сообщении svv не обязательно ортогональный. Квадратичная форма в некотором базисе приводится к каноническому виду (методом Лагранжа).

[svv]

Я думаю, нижеизложенное Вам хорошо известно, но лучше передать, чем недодать (а там делайте что хотите).

Вики, статья Квадратичная форма, пункт Канонический вид писал(а):

для любой квадратичной формы существует базис, в котором её матрица диагональна, а сама форма имеет канонический вид, то есть содержит только квадраты переменных:
$Q(x)= a_1x^2_1+ \cdots+ a_px^2_p - a_{p+1}x^2_{p+1}- \cdots -a_{p+q}x^2_{p+q}$

Закон преобразования матрицы билинейной/квадратичной формы (=ковариантного тензора 2 ранга) $\tilde T=P^\top T P$ при замене базиса отличается от закона преобразования матрицы линейного оператора (=смешанного тензора 2 ранга) $\tilde L=P^{-1}LP$. Как следствие, метод (Лагранжа) приведения формы к каноническому виду отличается от метода приведения оператора к диагональному виду. Первый проще: не требует вычисления собственных значений $T$.

Но возможно большее: приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием ($P^{-1}=P^\top$), т.е. по сути вращением. Такое преобразование сохраняет ортогональность базиса (=диагональный вид метрического тензора). Но за это надо платить: методом Лагранжа уже не обойдёшься, и придётся вычислять собственные значения.

[Утундрий]

Дело в том, что в одной задаче оказалось, что представления в виде линейной комбинации диадиков оказалось достаточно для получения всех формул. Это меня озадачило, вот и пытаюсь сжульничать и обойтись без честного, зато чуть более громоздкого представления слагаемыми вида $a_i b_k+a_k b_i$.

[dgwuqtj]

Так ведь $a_i b_k + a_k b_i = (a_i + a_k)(b_i + b_k) - a_i b_i - a_k b_k$.

[svv]

Если представили тензор в виде суммы слагаемых вида $a_i b_k+a_k b_i$, то каждое такое
$a_i b_k+a_k b_i = \frac 1 2(p_ip_k-q_iq_k)= p_i p_k-a_i a_k -b_i b_k=a_ia_k+b_ib_k-q_iq_k,$
где $p_i=a_i+b_i,\;q_i=a_i-b_i$.

-- Пн авг 07, 2023 19:42:45 --

dgwuqtj, Вы, наверное, хотели написать
$a_i b_k+a_k b_i = (a_i+b_i)(a_k+b_k)-a_i a_k -b_i b_k$
Чтобы каждое слагаемое имело вид $a_i a_k$.

[Утундрий]

Да, это полностью решает проблему. Всем спасибо.

[dgwuqtj]

svv, действительно.