Ограниченное лок.-компактное сепараб. простр-во над N^N

[_hum_]

Пусть $X$ -- множество всех последовательностей $\,x=~(x_1,x_2,\dots)$ с элементами из счетного множества $\mathcal{I} = \{0,1,2,\dots\}$. Зафиксируем любое число $\Lambda\in(0,1)$
и определим на $X$ метрику

$$\rho(x,y) =\sup_{i}\, \min\!\big\{\Lambda^i \,|x_i- y_i|, 1 \big\}.$$

В таком случае пространство $(X, \rho)$ оказывается 1) ограниченным (+полным), 2) локально компактным. Хотелось бы попробовать найти какое-нибудь не слишком скудное подпространство, которое обладало бы (наряду с указанными свойствами) еще и 3) сепарабельностью. Но пока попытки не увенчались успехом :(

[mihaild]

Возьмите какое-нибудь счетное подмножество (например последовательности с конечным числом ненулевых координат) и его замыкание (это вроде будут последовательности такие что $x_n \Lambda^n \to 0$, но неважно) - ограниченность наследуется, сепарабельность получается по построению, локальная компактность и полнота для хаусдорфовых пространств наследуются замкнутыми подпространствами.

[KhAl]

Канторовское множество $\{x \mid \forall k\; x_k \leqslant 1\}$

[_hum_]

mihaild
спасибо, интересная идея (я как-то даже не думал с этой стороны смотреть). На всякий случай еще уточню, я же могу взять ("для симметрии") в качестве исходного счетного множества множество состоящее из последовательностей, у каждой из которых только конечное число различных по значению координат?

KhAl
не совсем понятно, что Вы имели в виду.

[KhAl]

_hum_ буквально. То множество, которое я выписал (все координаты $0$ или $1$) гомеоморфно $\{0,1\}^{\mathbb{N}}$ (в топологии произведения) и, соответственно, гомеоморфно множеству Кантора.

[_hum_]

KhAl
понятно, спасибо. Но оно в данном случае слишком скудное по сравнению с исходным пространством.

[mihaild]

_hum_ в сообщении #1604327 писал(а):

На всякий случай еще уточню, я же могу взять ("для симметрии") в качестве исходного счетного множества множество состоящее из последовательностей, у каждой из которых только конечное число различных по значению координат?

Можете, но тогда придется доказывать сепарабельность, потому что это множество уже несчетное.
(и вроде замыкание получится таким же)

[_hum_]

mihaild в сообщении #1604333 писал(а):

Можете, но тогда придется доказывать сепарабельность, потому что это множество уже несчетное.

Хм.. А я думал, что оно счетное: каждая последовательность задается конечным числом позиций в которых происходит смена значений координат + счетным числом значений координат. Итого получаем объединение счетного числа счетных множеств. Нет?

[mihaild]

_hum_ в сообщении #1604336 писал(а):

каждая последовательность задается конечным числом позиций в которых происходит смена значений координат + счетным числом значений координат

А если у нас число позиций, в которых меняется значение координат, бесконечно? Например почти любая двоичная последовательность?

[_hum_]

mihaild
да, наверное я не продумал до конца описание - изначальная задумка была в Вашем первоначальном варианте "для симметрии" просто заменить нули какими-то определенными значениями, то есть, вместо 00010023000000 рассматривать последовательности вида aaa1bb23cccccc [с конечным числом позиций смен значений (?)].
Тогда (опять же чисто "для симметрии"), могу я рассматривать в качестве отправного множество "финально-стационарных" последовательностей:
$\big\{x \in X\,\big|\, \exists i \,\forall j \geq i \, (x_i = x_j)\big\}$

p.s. Я "на Вы" с функаналом, да и давно с ним не пересекался, потому прошу сильно не бить :)