Метрика мала, если функция ноль вне отрезка

[artempalkin]

Пытаюсь доказать, что поточечная сходимость в $C[0,1]$ не может быть сходимостью ни в какой метрике. Нашел post69116.html вот это обсуждение. Там говорится про намеки Хелемского, а я как раз из его учебника это упражнение и взял. Если доказать вот это утверждение:

Цитата:

1. Пусть сходимость задаётся метрикой $d$. Докажите, что для любой точки $t\in(0,1)$ и для любого $\varepsilon>0$ найдётся такое $h>0$, что $d(x(t),0)<\varepsilon$ как только $x(t)=0$ вне отрезка $[t,t+h]$.

,
то дальше все ясно. Но именно это утверждение непонятно, как именно доказать, хотя комментатор пишет, что это легко. Подскажите какие-то пути...

[thething]

По-моему, тут всё просто доказывается от противного: пусть существует $\varepsilon_0>0$, существует $t_0\in(0,1)$ такие, что для всех $h>0$ существует $x=x(t)\in C[0,1]$, равная нулю вне отрезка $[t_0,t_0+h]$ такая, что $d(x,0)\ge\varepsilon_0$. Тогда берём любую последовательность $h_n\to0$, строим $x_n(t)$, которая поточечно очевидно стремится к нулю, а значит $d(x_n,0)\to0$ по условию. Противоречие.

[artempalkin]

thething в сообщении #1604071 писал(а):

Тогда берём любую последовательность $h_n\to0$, строим $x_n(t)$, которая поточечно очевидно стремится к нулю, а значит $d(x_n,0)\to0$ по условию.

А какую конкретно $x_n(t)$ мы строим? Ведь нам нужно, чтобы в точке $t_0$ все наши функции принимали какое-то конечное значение (типа, $x_n(t_0)=1$ или $x_n(t_0)>1$). А тогда $x_n(t)$ поточечно к $0$ стремиться не будет.

[thething]

artempalkin в сообщении #1604079 писал(а):

А какую конкретно $x_n(t)$ мы строим?

Конкретно не известно, известно только, что такая последовательность существует.

artempalkin в сообщении #1604079 писал(а):

Ведь нам нужно, чтобы в точке $t_0$ все наши функции принимали какое-то конечное значение

В точке $t_0$ все члены последовательности равны нулю, просто по непрерывности.

[artempalkin]

Мне все же кажется, что вы доказываете что-то другое, либо я фундаментально вас не понимаю.

Давайте для удобства будет считать $t_0=0$. Соответственно, нам нужно доказать, что для заданого $\varepsilon>0$ найдется такое $h>0$, что, какая бы у меня ни была $x(t)\in C[0,1]$ (равная, впрочем, нулю вне отрезка $[0,h]$), все равно $d(x,0)<\varepsilon$.

(Оффтоп)

То есть, по сути, мы хотим доказать, что даже если $x(0)=1000$, но вне небольшого отрезка функция равна нулю, то она будет "недалека" от тождественного нуля. Это, конечно, будет противоречить нашему предположению о том, что поточечную сходимость можно рассматривать как сходимость по метрике, т.к. можно будет придумать такую последовательность, что в точке $0$ она будет далека от нуля, а в то же время по метрике сходиться к тождественному нулю.

И вы доказываете это, предъявляя некую последовательность, которая поточечно сходится к нулю и равна нулю вне сжимающихся отрезков... я не понимаю, как это доказывает наше утверждение

[thething]

artempalkin
Что непонятного в доказательстве от противного? Вы сформулируйте чётко доказываемое утверждение: что дано, что нужно доказать, желательно в кванторах, без "сути". И осознайте, что, если вне отрезка $[t,t+h]$ (ноль брать нехорошо, в утверждении интервал) функция равна нулю, то $x(t)=0$, а не 1000. Иными словами, если вдруг $x(t)=1000$, то такие функции в утверждении не рассматриваются.

[artempalkin]

Хорошо, давайте попробуем "без сути".

Нам нужно доказать, что $\forall t_0\in(0,1)\ \forall \varepsilon>0\ \exists h>0\ \forall x(t)\in C[0,1]$ (таких, что $x(t)=0$ вне отрезка $[t_0,t_0+h]$) $d(x,0)<\varepsilon$.

Соответственно, отрицанием всего этого будет вот что: $\exists t_0\in(0,1)\ \forall \varepsilon>0\ \forall h>0\ \exists x_h(t)\in C[0,1]$ (таких, что $x_h(t)=0$ вне отрезка $[t_0,t_0+h]$) $d(x_h,0)>\varepsilon$.

Пока правильно?
$x_h$ я пишу, чтобы подчеркнуть, что (при заданном $t_0$) функция, нарушающая, скажем, наше условие, будет, понятно, зависеть от $h$.

-- 06.08.2023, 14:41 --

(Оффтоп)

artempalkin в сообщении #1604172 писал(а):

И осознайте, что, если вне отрезка $[t,t+h]$ (ноль брать нехорошо, в утверждении интервал) функция равна нулю, то $x(t)=0$, а не 1000. Иными словами, если вдруг $x(t)=1000$, то такие функции в утверждении не рассматриваются.

Это я осознал, просто я как-то у себя в голове считал автоматически $t_0=0$. Но в любом случае, если утверждение верно, то $x(t)$ может принимать на интервале $(t_0,t_0+h)$ какие угодно значения, и все равно по метрике (воображаемой) будет близка к $0$. Но пока не об этом.

[thething]

artempalkin в сообщении #1604172 писал(а):

Пока правильно?

Квантор у эпсилон не тот в отрицании. Теперь, коль скоро $h$ произвольно, устройте последовательность $h_n\to0$, а по ней постройте соответствующую $x_n(t)$. Не понимаю, что именно вызывает затруднения.

artempalkin в сообщении #1604172 писал(а):

Но в любом случае, если утверждение верно, то $x(t)$ может принимать на интервале $(t_0,t_0+h)$ какие угодно значения, и все равно по метрике (воображаемой) будет близка к $0$.

Но Вы отчего-то "прицепились" именно к точке $t_0$...

[artempalkin]

thething в сообщении #1604174 писал(а):

Квантор у эпсилон не тот в отрицании.

Промахнулся...
Ну хорошо, возьмем некую $h_n\to0$.

thething в сообщении #1604071 писал(а):

Тогда берём любую последовательность $h_n\to0$, строим $x_n(t)$, которая поточечно очевидно стремится к нулю, а значит $d(x_n,0)\to0$ по условию.

Возьмем $x_n(t)\equiv0$. Такая последовательность поточечно (очевидно) стремится к нулевой функции. Тогда и $d(x_n,0)\to0$. Но как это доказывает, что не найдется таких функций, что $d(x,0)>\varepsilon$? Или все же вы имеете в виду какую-то более конкретную последовательность $x_n(t)$?

[thething]

artempalkin в сообщении #1604181 писал(а):

Возьмем $x_n(t)\equiv0$.

Нельзя такую взять. То есть, может быть, конечно, можно, но откуда нам это знать. Берём мы изначально $h_n$. Вот их берите, как хотите. А вот $x_n$ уж какие будут -- не обессудьте (кванторы читайте правильно). И вот про них по условию известно, что должно быть $d(x_n,0)\ge\varepsilon_0$. А ещё, по построению, они поточечно сходятся к нулю... Ну это уже разжёвывание какое-то.

[artempalkin]

thething в сообщении #1604183 писал(а):

А ещё, по построению, они поточечно сходятся к нулю...

Я вот этот момент понять не могу.

Я предполагаю, что вы имеете в виду следующее:

artempalkin в сообщении #1604172 писал(а):

$\exists t_0\in(0,1)\ \exists \varepsilon>0\ \forall h>0\ \exists x_h(t)\in C[0,1]$ (таких, что $x_h(t)=0$ вне отрезка $[t_0,t_0+h]$) $d(x_h,0)>\varepsilon$.

(поправил квантор)
Вот возьмем этот самый $\varepsilon$ из этого условия. Возьмем некую $h_n\to0$. Для каждого $h_n$ существует $x_n(t)$, упомянутая в этом отрицании. Вот эту последовательность $x_n(t)$ и возьмем. И далее почему-то мы считаем очевидным, что она поточечно сходится к нулю. Почему - не могу понять...

-- 06.08.2023, 17:58 --

thething в сообщении #1604183 писал(а):

И вот про них по условию известно, что должно быть $d(x_n,0)\ge\varepsilon_0$.

Ну да, вроде бы вы это и имеете в виду. Но почему они поточечно к нулю-то будут сходиться? "по построению"... не понимаю

[thething]

artempalkin в сообщении #1604197 писал(а):

Почему - не могу понять...

А какие ещё есть варианты, если носители стягиваются в точку?

[artempalkin]

Да, все, понял. Получается, здесь существенно именно, что $t_0$ отлично от нуля. Тогда получается, что, какую бы точку мы не взяли на интервале $(t_0,t_0+h_1)$ (начнем с $h_1$, хотя это роли не играет), рано или поздно она окажется вне интервала $(t_0,t_0+h_n)$, а значит в ней соответствующая $x_n$ и все следующие есть $0$. Дальше понятно, поточечная сходимость будет...
Видимо, меня смущало именно то, что я считал $t_0=0$, а тут уже что-то не то... Спасибо!