Соотношение для гармонической функции

[intex2dx]

Добрый день. Мне необходимо доказать следующее утверждение:
Пусть $u(x,y)$ - гармоническая функция двух переменных ($\Delta u = 0$). Тогда, если точка $M$ лежит внутри контура $L$, то значение $u$ в точке $M$ равно:

$$u_M = \frac{1}{2\pi} \oint\limits_{L} \left(\ln{r} \frac{\partial u}{\partial n} - u \frac{\partial \ln{r}}{\partial n} \right) dl $$

Здесь производная берётся по направлению внутренней нормали к контуру $L$. (всё дело происходит на плоскости). Вектор $\vec{r}$ проводится из точки $M$.
Я пробовал доказать следующим образом. Рассмотрим контур $L'$, представляющий собой контур $L$ вместе с контуром $L''$, где контур $L''$ - круговой контур радиуса $\rho \rightarrow 0$, охватывающий точку $M$.

Преобразуем интеграл и применим вторую формулу Грина к области $S'$ между контурами $L$ и $L''$:

$$ \oint\limits_{L'}\left(\ln{r} \frac{\partial u}{\partial n} - u \frac{\partial \ln{r}}{\partial n}\right) dl = \oint \limits_{L'} \bigg( (u \nabla{(\ln(r))} - \ln{r} \nabla{u} ) , \vec{n} \bigg)dl = \int\limits_{S'} (u \Delta (\ln{r}) - \ln{r} \Delta u) dS = \int\limits_{S'} \frac{u}{r^2} dS$$

С другой стороны:

$$ \oint \limits_{L''} (u \nabla{(\ln(r))} - \ln{r} \nabla{u}) \vec{n} dl = - \oint \limits_{-L''} \left(u \frac{\vec{r}}{r^2} - \ln{r} \nabla{u}\right) \vec{n} dl \overset{\rho \rightarrow 0}{\approx } -u_M \frac{1}{\rho} 2\pi \rho = -2\pi u_M$$

Тогда из формулы:

$$\oint\limits_{L'} = \oint\limits_{L} + \oint\limits_{L''}$$

Получим:

$$ \oint\limits_{L} \left(\ln{r} \frac{\partial u}{\partial n} - u \frac{\partial \ln{r}}{\partial n} \right) dl = \int\limits_{S'} \frac{u}{r^2} dS + 2\pi u_M$$

Соответственно, вопрос: почему появляется дополнительный интеграл по $S'$, которого не должно быть в доказываемой формуле?

[svv]

intex2dx в сообщении #1603772 писал(а):

$$... = \int\limits_{S'} (u \Delta (\ln{r}) - \ln{r} \Delta u) dS$$

И вот тут надо остановиться. По условию $\Delta u=0$. Но функция $\ln r$ тоже гармоническая в области $S'$. Это легко проверить в полярных координатах с центром в $M$:
$\Delta f=\frac 1 {r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r \frac{\partial f}{\partial r}\right)+\frac 1 {r^2}\frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2}$
$\Delta(\ln r)=\frac 1 {r}\frac{d}{dr}\left(r \frac{d(\ln r)}{dr}\right)=0$
Поэтому интеграл по $S'$ обращается в нуль.

Функция $\ln r$, однако, не является гармонической во всей области $S$ (внутри контура $L$) из за особенности в точке $M$. Поэтому второй контур и понадобился.

-- Чт авг 03, 2023 12:14:06 --

Вы, наверное, считали лапласиан в полярных координатах по формуле
$\frac{\partial^2 f}{\partial r^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2}$
Правильную формулу см. выше или здесь.

[intex2dx]

Да, видимо проблема в том, что я неправильно посчитал лапласиан. Я его считал, предполагая, что $\ln{r}$ - это функция только $r$ и потому для градиента имеем:

$$\nabla (\ln{r}) = \frac{\vec{r}}{r} (\ln{r})' = \frac{\vec{r}}{r^2}$$

И потом от этого выражения я брал дивергенцию. Как я понимаю, ошибка была в том, что я перепутал сферические и цилиндрические координаты. То есть, если работать в сферических координатах, нужно считать, что $\ln{r} = f(\rho \sin{\Theta})$, а если в цилиндрических то:
$\vec{e}_r = \vec{r} - (\vec{r}, \vec{e}_z) \vec{e}_z \neq \frac{\vec{r}}{r}$