Счётное объединение счётных множеств без аксиомы выбора

[AGu]

Инт писал(а):

Я уточняю формулировку:

(В*) «H множество, и для любой упорядоченной пары натуральных чисел <n', n''> существует единственная упорядоченная пара <m, y> такая, что m принадлежит множеству M, y принадлежит множеству m, и <<n', n''>, <m, y>> принадлежит H. И для любой пары <m, y> такой, что m принадлежит M, y принадлежит m, существует единственная пара <n', n''> такая, что <<n', n''>, <m, y>> принадлежит H».

Для удобства положим $A=\mathbb N^2$ и $B_M = \{\langle m,y\rangle : y\in m\in M\}$.
Тогда новая версия (B*) запишется следующим образом:
$\bigl(\forall\,a\in A\bigr)\bigl(\exists!\,b\in B_M\bigr)\bigl(\langle a,b\rangle\in H\bigr)\ \&\ (\forall\,b\in B_M)(\exists!\,a\in A\bigr)\bigl(\langle a,b\rangle\in H\bigr)$.
(Кстати, $\mathbb N^2$ здесь "от лукавого". Не меняя сути, можно положить $A=\mathbb N$. Но это так, к слову.)
Полагая $F=H\cap(A\times B_M)$, мы заключаем, что $F$ является биекцией $A$ на $B_M$.
Поскольку множество $A$ счетно, счетно и множество $B_M$.
Кроме того, $\cup M = {\rm pr}_2(B_M)$, а значит, $\cup M$ счетно как образ счетного множества.
(Это все, вроде, верно в ZF.)

Но, повторяю, подобные выкладки -- это вовсе не то, что я хотел бы увидеть.
У меня, как и у других Ваших собеседников, нет сомнений
в справедливости предлагаемой Вами "ZF-версии" теоремы о счетности объединения.
Меня заинтересовали Ваши заявления о "конкретностях".
Если же Вы предлагаете под "конкретностью" множества $M$ понимать
существование биекции $\mathbb N^2$ на $B_M$, то можно считать, что я получил ответ.
Впрочем, не могу сказать, что этот ответ оказался для меня откровением
(хотя это уже моя проблема), поскольку такое определение "конкретности"
не кажется мне адекватным ни терминологически, ни "содержательно".
Да и его общность представляется мне весьма сомнительной --
хотя бы потому, что оно не сработает при рассмотрении, например,
объединения счетного множества объединений счетных множеств и т.п.

[Инт]

AGu писал(а):

Для удобства положим $A=\mathbb N^2$ и $B_M = \{\langle m,y\rangle : y\in m\in M\}$...

...Но, повторяю, подобные выкладки -- это вовсе не то, что я хотел бы увидеть...

...Меня заинтересовали Ваши заявления о "конкретностях"...

...такое определение "конкретности"
не кажется мне адекватным ни терминологически, ни "содержательно".
Да и его общность представляется мне весьма сомнительной --
хотя бы потому, что оно не сработает при рассмотрении, например,
объединения счетного множества объединений счетных множеств и т.п.

Инт писал(а):

(В*) «H множество, и для любой упорядоченной пары натуральных чисел <n', n''> существует единственная упорядоченная пара <m, y> такая, что m принадлежит множеству M, y принадлежит множеству m, и <<n', n''>, <m, y>> принадлежит H. И для любой пары <m, y> такой, что m принадлежит M, y принадлежит m, существует единственная пара <n', n''> такая, что <<n', n''>, <m, y>> принадлежит H».

Я признаю за собой одну ошибку (которую никто почему-то не указал): в формулах (В) и (В*) не указано, что первые элементы пар натуральных чисел должны перечислять множества-элементы из М. Кроме того, в моих содержательных формулах исключается упоминание о множестве $\{\langle m,y\rangle : y\in m\in M\}$, поэтому, приведённые Вами формулировки считаю необходимым уточнить, исключив это множество.

п.1. Будем считать, что следующие определения и формулы окончательные:

$L$ - множество, которое может быть одноэлементным, конечным или бесконечным, $N$ - натуральный ряд.

$A = L \times N$

(В)$\bigl(\bigl(\forall\,n'\in L\bigr) \bigl(\exists!\,m\in M\bigr) \bigl(\forall\,n''\in N\bigr) \bigl(\exists!\,q) \bigl(q\in m\bigr)\bigr)\ \&\ \bigl(\bigl(\forall\,m\in M\bigr) \bigl(\exists!\,n'\in L\bigr) \bigl(\forall\,q\in m\bigr) \bigl(\exists!\,n'') \bigl(n''\in N\bigr)\bigr)$


(В*)$\bigl(\bigl(\forall\,n'\in L\bigr) \bigl(\exists!\,m\in M\bigr) \bigl(\forall\,n''\in N\bigr) \bigl(\exists!\,q\in m\bigr) \bigl(\langle \langle n',n''\rangle,\langle m,q\rangle\rangle\in H\bigr)\bigr)\ \&\ \bigl(\bigl(\forall\,m\in M\bigr) \bigl(\exists!\,n'\in L\bigr) \bigl(\forall\,q\in m\bigr) \bigl(\exists!\,n''\in N\bigr) \bigl(\langle \langle n',n''\rangle,\langle m,q\rangle\rangle\in H\bigr)\bigr)$

Формулы (В) и (В*) (впрочем, см. замечание в п.3. по формуле (В)) означают: «Посредством элементов множества $L$ взаимно однозначно перечислены все элементы множества $M$. При каждом $n'$ из $L$, элементы, взятые из $N$, взаимно однозначно перечисляют все элементы множества $m$, которое закреплено за номером $n'$».

Если $L$ - одноэлементное множество, и $m$ - единственный элемент в множестве $M$, то (В) и (В*) есть определения того, что значит выражение «множество $m$ счётно».

Если $L = N$, то (В) и (В*) есть определения того, что значит «каждое множество из множества $M$ счётно», и они же, есть утверждаемые посылки в теореме: «объединение счётного множества счётных множеств счётно».

Исходя из такого определения счётности, нетрудно доказать в рамках ZF частный «счётный случай аксиомы выбора», т.е. для всех счётных множеств. Аналогично, нетрудно доказать, что «объединение счетного множества объединений счетных множеств счётно».

Если S - конкретное множество, т.е. константа, то посредством алгоритма мы снова можем получить новую константу, и таким образом, новое конкретное множество. Через подобное определение и определения (В) и (В*) можно получить в точности все те конкретные счётные множества ZFC, которые получаются из каких-либо конкретных счётных множеств.

Так как, в ZF определено даже такое множество как континуум, то можно добавить и более слабые аксиомы, обоснующие введение таких множеств, как алеф-первый и т.д. Можно достаточно эффективно выразить и частную «несчётную аксиому выбора». Скорее, заведомое знание, что такие множества существуют, обоснует аксиому выбора, чем наоборот.

п.2. Теперь о Вашем замечании «о конкретности». Я не стремился дать определение «конкретности». Я пытался только дать конкретную формулировку обсуждаемой теоремы, т.е. пытался конкретно предъявить альтернативные (по отношению к стандартной) формулировки, которые так же выражают смысл фразы «объединение счётного множества счётных множеств счётно». Замечу, что такая фраза не принадлежит ни ZF, ни ZFC. Поэтому, претендовать на неё можно лишь, рассматривая все точки зрения.

Поэтому же, стандартная формулировка в теореме «объединение счётного множества счётных множеств счётно», или формулировка «счётности множества» может подвергаться другой интерпретации: «известно, что множество может быть счётным, но никакого конкретного взаимно однозначного сопоставления элементов множества натуральным числам нет».

«Конкретность и конкретное предъявление» - это скорее константы и правила вывода.

п.3. Наконец, о формуле (В). Возможно, я в чём-то ошибаюсь, но пока я не нашёл причину, по которой кванторы всеобщности и единственного существования можно переставлять в этой формуле. В результате она (вроде бы) напрямую и ещё проще говорит о взаимно однозначном соответствии, перечисляющем элементы множеств.

[tolstopuz]

Инт писал(а):

п.2. Теперь о Вашем замечании «о конкретности». Я не стремился дать определение «конкретности». Я пытался только дать конкретную формулировку обсуждаемой теоремы, т.е. пытался конкретно предъявить альтернативные (по отношению к стандартной) формулировки, которые так же выражают смысл фразы «объединение счётного множества счётных множеств счётно». Замечу, что такая фраза не принадлежит ни ZF, ни ZFC. Поэтому, претендовать на неё можно лишь, рассматривая все точки зрения.

Интересно, а как бы вы формализовали фразу "объединение зеленого множества зеленых множеств зеленое" или фразу "объединение обладающего свойством P множества множеств, обладающих свойством P, само обладает свойством P"?

[Someone]

Инт в сообщении #160031 писал(а):

Вы ничего не объяснили, кроме того, что настаиваете на своей версии подмены теоремы. Особенно по формулам (В) и (В*).

Я объяснил, чем отличается подход, принятый в классической математике и, в частности, в теории множеств, от подхода, принятого в интуиционизме.

И это не я подменяю классическую теорему, это Вы её подменяете. Можно посмотреть в литературе.

К.Куратовский, А.Мостовский. Теория множеств. "Мир", Москва, 1970.

Глава V, § 2. Счётные множества.

Цитата:

Определение. Множество $A$ называется счётным, если оно конечно или равномощно множеству натуральных чисел.

Авторы выбрали такое определение, видимо, для удобства. Мне кажется, что чаще в этом случае употребляют термин "не более чем счётное". Конечные множества определяются в этой книге ранее как множества, равномощные натуральным числам. Это существенно, так как есть определение конечного множества Дедекинда, не равносильное данному без аксиомы выбора.

Цитата:

Теорема 7. Если $\psi$ - бесконечная последовательность, члены которой - также бесконечные последовательности, то множество $X$ элементов $x$, являющихся членами последовательностей $\psi_n$, счётно.

Это - Ваша теорема в чуть более общей формулировке.

Цитата:

°Теорема 8. Если $A$ - последовательность, члены которой - непустые счётные множества, то сумма $\bigcup\limits_nA_n$ счётна.

А это та теорема, о доказательстве которой должна идти речь (кружочек перед словом "теорема" означает, что в доказательстве используется аксиома выбора). Если Вы хотите доказывать другую теорему, Вам - в другое место.

Добавлено спустя 22 минуты 25 секунд:

Инт в сообщении #160255 писал(а):

Исходя из такого определения счётности

То есть, теперь Вы стали подменять определение счётного множества. Кроме того, формула (B) попросту означает, что множества $L$, $M$ и $N$ содержат по одному элементу (если я правильно понял значок $\exists!$ как "существует единственный").

Формула (B*) означает, что $H$ - взаимно однозначное соответствие между множествами $L\times N$ и $\bigcup\limits_{m\in M}(\{m\}\times m)$. Ввиду того, что нумерация множества $L\times N$ строится всем известным способом, фактически Вы постулируете то, что хотите доказать. Правда, для получения взаимно однозначного отображения $N$ на $\bigcup\limits_{m\in M}m$ нужно ещё выкинуть повторы.

[AGu]

Инт писал(а):

Поэтому же, стандартная формулировка в теореме «объединение счётного множества счётных множеств счётно», или формулировка «счётности множества» может подвергаться другой интерпретации: «известно, что множество может быть счётным, но никакого конкретного взаимно однозначного сопоставления элементов множества натуральным числам нет».

«Конкретность и конкретное предъявление» - это скорее константы и правила вывода, чем аксиомы или определения.

Стало быть, "конкретность" остается без формализации. Ну что ж, тогда я вынужден констатировать свою неспособность не только принять, но даже понять Ваши "содержательные" высказывания. Увы, это также означает, что мой интерес угасает.

Инт писал(а):

п.3. Наконец, о формуле (В).

Как уже отметил Someone, эта формула у Вас получилась весьма "перловой".

К сожалению, Ваши последние сообщения никак не помогают мне прочувствовать Вашу позицию. (Я вижу лишь перефразировки уже сказанного и время от времени умиляюсь возникающими формулами.) Похоже, что Ваша радикальная содержательность и моя упертая заформализованность ведут наш поддиалог в тупик.

[Инт]

Уточним, действительно, что есть «конкретное».

Математические константы (в частности, теоретико-множественные константы в теории, которая не обязательно должна быть ZF, ZFC и пр.) такие как $0, 1, 2, 3, 4, 5, ..., \pi, $Г$, $N$, $алеф-17$$, и т.п. суть - конкретные предметы. Если $X$ - конкретный предмет, и $Al$ - конкретный алгоритм, конечный или трансфинитный, перерабатывающий предмет $X$ в предмет $Y$, то $Y = Al(X)$ - конкретный предмет. Можно предъявить конкретные бесконечные процессы, которые порождают конкретные предметы по указанному правилу. Тогда каждый предмет, порождённый в таком процессе - конкретен, если предъявлен на некотором шаге. Если конкретный процесс порождает цепь конкретных предметов - то этот же процесс порождает конкретное множество, составленное из этих предметов (при этом, не обязательно, что все элементы такого множества будут предъявлены конкретно на некоторый момент времени). Факт осознания существования такого множества - так же конкретный шаг. Сам поцесс - конкретная функция. Можно сказать, "теория конкретных множеств" это исчисление констант. Это ещё не строгие определения, только более формализованные чем прежде. Но я и не намерен был обсуждать здесь этот вопрос слишком подробно, так как это отдельная тема.

Someone писал(а):

Цитата:

Множество называется счётным, если оно конечно или равномощно множеству натуральных чисел.

Такое определение счётности присутствует обычно в зарубежной литературе, я его не отрицаю как достаточно адекватное определение.

Someone писал(а):

То есть, теперь Вы стали подменять определение счётного множества.

Определение: множество называется счётным, когда оно равномощно множеству натуральных чисел. Если множество $M$ одноэлементно, то формула (В*) в точности эквивалента указанному мною определению.

Someone писал(а):

Цитата:

Цитата:
Теорема 7. Если - бесконечная последовательность, члены которой - также бесконечные последовательности, то множество элементов , являющихся членами последовательностей , счётно.

Это - Ваша теорема в чуть более общей формулировке.

Цитата:
°Теорема 8. Если - последовательность, члены которой - непустые счётные множества, то сумма счётна.

А это та теорема, о доказательстве которой должна идти речь (кружочек перед словом "теорема" означает, что в доказательстве используется аксиома выбора). Если Вы хотите доказывать другую теорему, Вам - в другое место.

Пусть $ $Б$ (a, b, c) $ - обозначает: $a$ есть биекция множества $b$ на множество $c$ (где $a$ - биекция, заданная некоторым перечислением биекций, с учётом моей ошибки, указаной Someone и AGu, см. ниже).

Назовём так же множество $H$, о котором говорилось выше, "ситуацией".

Рассмотрим следующую формулу:

(Г) $\bigl($Б$ (F, N, M) \bigr)\ \&\ $\bigl(\bigl(\forall\,m\in M\bigr) \bigl(\exists!\,f\bigr) $Б$ (f, N, m) \bigr)$

Эта формула так же может быть условием (не всем) в посылке обсуждаемой содержательной теоремы. Всякий раз когда математик представляет, что некоторое множество счётно, он подразумевает, что указана хотя бы одна функция, перечисляющая элементы множества. Прежде чем сказать, что "множество счётно" мы должны предъявить хотя бы мысленно хотя бы одну такую функцию. Теорема с условием (Г) очевидно будет выводима через аксиомы ZF и доставляет нам реальное знание того, что происходит, когда мы подразумеваем, что какое-то множество счётно. Если мы рассмотрим множества, которые могут быть получены в ZFC без аксиомы выбора, то указанная теорема будет для них верна. Если рассмотрим множества, которые получаются в ZFC с использованием аксиомы выбора, то для них эта теорема будет так же верна. Другое дело, что для частных множеств, чтобы выполнить условие посылки, может потребоваться аксиома выбора. Таким образом, эта теорема доказуема без использования аксиомы выбора вообще для всех множеств.

В точности те же аргументы можно добавить к теореме, использующей посылку (Б).

Аналогично, когда мы рассматриваем вопрос о том, что $M$ счётно, и каждый элемент из $M$ счётен, то подразумеваем, что найдётся хотя бы одна ситуация $H$, когда перечислены все элементы в множестве $M$ и все элементы в каждом множестве $m$ из $M$ - ни больше, ни меньше. Это и есть реальное знание о том, что $M$ счётно, и каждый элемент из $M$ счётен. Так, что ложны все спекуляции на тот счёт, что формула (В*) означает что-то другое, отнимающее смысл теоремы о счётном объединении.

В формуле (В) Вы не показали, что можно переставлять кванторы. И таким образом, она может означать, что "для каждого предмета x существует единственный (зависящий от x) предмет y, для которого верна формула Ф", но может не означать, что "существует единственный y, что для всех x верна Ф". Это не смотря на то, что в конечной бескванторной формуле Ф отсутствует упоминание об элементах x. Я пока не отрицаю, что перестановка кванторов может быть совершена. Но ведь формально, можно считать, что Ф зависит от x.

[AGu]

Инт писал(а):

Уточним, действительно, что есть «конкретное».

Увы, я по-прежнему не могу преодолеть Ваш содержательный туман.

Если Вам не безразлично мнение "формалистов", то, наверное, имеет смысл использовать в своих разъяснениях используемый ими формальный аппарат. Как мне показалось, то, о чем Вы говорите, имеет известные формальные аналоги в теории алгоритмов: рекурсивные функции, рекурсивные и рекурсивно перечислимые множества и т.д. и т.п. Где-то рядом, возможно, лежит и развитая Гёделем теория конструктивных множеств. Дескриптивная теория множеств, опять-таки, не очень далеко валяется. Разумеется, весь этот формальный аппарат достаточно сложен и не всем хорошо знаком, но если бы Вы воспользовались хотя бы его основами, у нас с Вами был бы шанс достичь какого-то взаимопонимания.

Инт писал(а):

Рассмотрим следующую формулу:

(Г) $\bigl($Б$ (F, N, M) \bigr)\ \&\ $\bigl(\bigl(\forall\,m\in M\bigr) \bigl(\exists!\,f\bigr) $Б$ (f, N, m) \bigr)$

В очередной раз умиляюсь приводимыми Вами формулами. (Извините уж.)
Формула (Г) тривиально ложна (точнее, в ZF доказуемо ее отрицание): биекция между $\mathbb N$ и $m$ не может быть единственной, так как по любой такой биекции можно легко построить другую биекцию, например, "переставив" значения на элементах 1 и 2.

Что касается формулы (В), то она настолько умилительна, что я даже не рискую ее комментировать. (Еще раз простите за наглость, но она искренняя.)

Все же остальные Ваши высказывания о "мысленном предъявлении", "реальном знании" и т.п. я вынужден игнорировать, ибо не способен их понять.

[Инт]

Инт писал(а):

(Г) $\bigl($Б$ (F, N, M) \bigr)\ \&\ $\bigl(\bigl(\forall\,m\in M\bigr) \bigl(\exists!\,f\bigr) $Б$ (f, N, m) \bigr)$

Эта формула так же может быть условием посылки в обсуждаемой содержательной теореме.

Имелось ввиду "формула может быть условием в посылке", т.е. могут быть другие условия.
Конечно, они должны быть. Всякий раз, когда установлена единственность $f$ относительно какого-то подходящего условия, легко установить счётность объединения множеств.
Относительно формулы (В) я ещё думаю.

В связи с Вашим умилением, Вам больше всего подходит посылать для меня смайлики следующего вида:

Добавлено спустя 7 минут 40 секунд:

AGu писал(а):

Увы, я по-прежнему не могу преодолеть Ваш содержательный туман.

Думаю, что Вы всё понимаете, в том числе то, чем является реальное знание. Кроме того, откройте тему о том, что есть "конкретное", и обсуждайте с кем-нибудь.

[Someone]

Инт в сообщении #160931 писал(а):

Имелось ввиду "формула может быть условием в посылке", т.е. могут быть другие условия.

Эта формула не может быть посылкой, поскольку она доказуемо ложна.

Кроме того, в обсуждаемой теореме нет никаких посылок, кроме явно сформулированных: задано счётное множество, элементы которого являются счётными множествами (у Куратовского с Мостовским - последовательность, значениями которой являются счётные множества).

Инт в сообщении #160931 писал(а):

Думаю, что Вы всё понимаете, в том числе то, чем является реальное знание.

Рассуждения о "реальном" или "нереальном" знании не имеют отношения к формальной теории.

Инт в сообщении #160931 писал(а):

Кроме того, откройте тему о том, что есть "конкретное", и обсуждайте с кем-нибудь.

Извините, это Вы начали употреблять в этой теме термин "конкретное" и не в состоянии его вразумительно объяснить. Поэтому у Вас нет оснований предъявлять претензии кому-либо.

[Инт]

Someone писал(а):

...Извините, это Вы начали употреблять в этой теме термин "конкретное" и не в состоянии его вразумительно объяснить. Поэтому у Вас нет оснований предъявлять претензии кому-либо.

Претензий я ни кому не предъявлял. Полученное знание не зависит от того, что про него придумали в той или ной формальной теории. Оно то, как раз, и предъявлено конкретно.

Ключевые аргументы по этой теме, и достаточно вразумительно, я считаю, привёл. Поэтому, пожалуй, завершу дискуссию.
Спасибо за интересный разговор.

Добавлено спустя 2 часа 28 минут 21 секунду:

Вернулся только на время,чтобы признать некоторые свои ошибки. Действительно, формула (В) не подходит. В формуле (Г), конечно, так же ляп. Тем не менее, я подразумевал, что f должна быть выделена каким-то единственным образом. Исправление, которое надо сделать в (Г) это то, что под Б(f, N, m) необходимо понимать не просто биекцию, а биекцию заданную некоторым перечислением биекций. Если сделать эти исправления, то остальные рассуждения правильны.

[AGu]

Инт писал(а):

Полученное знание не зависит от того, что про него придумали в той или ной формальной теории. [...]
Ключевые аргументы по этой теме, и достаточно вразумительно, я считаю, привёл. Поэтому, пожалуй, завершу дискуссию.

Пожалуй, могу согласиться с тем, что знание, полученное кем-либо в гордом одиночестве, не зависит даже от того, овладеет ли этим знанием кто-либо еще. Но велика ли ценность знания, если узнавшему не удается довести это знание до остальных? Узнавший да возрадуется, а неведающие да обзавидуются -- это ли достойный итог познания?

Инт писал(а):

Вернулся только на время,чтобы признать некоторые свои ошибки.

Это, безусловно, радует. Но грустно, что Вы ограничиваетесь лишь очевидными исправлениями. Рано или поздно Вы, вероятно, справитесь с полной формализацией предложенной Вами версии теоремы о счетности объединения, но, уверяю Вас, этот труд не будет по достоинству оценен Вашими заформализованными собеседниками, которые уже давно согласились с тем, что обсуждаемое утверждение доказуемо в ZF (при адекватной формализации). Мне жаль, что Вам не удается формализовать свои самые любопытные (на мой взгляд) высказывания -- о конкретностях. И жаль мне совершенно искренне, так как их формальный аналог вполне может оказаться интересным (хотя, возможно, и не новым).

[trostewus]

Люди, я извиняюсь, может я торможу немного...но разве выписав элементы нашего объединения счетного числа счетных множеств в "бесконечную матрицу" (одна ее строка - одно счетное множество) и пронумеровав эти элементы начиная с первого элемента первого множества "по минорам" мы не получим счетного множества?..

[trostewus]

Вернее не "по минорам", а змейкой, так сказать...

[Someone]

trostewus в сообщении #313568 писал(а):

...но разве выписав элементы нашего объединения счетного числа счетных множеств в "бесконечную матрицу...

Чтобы составить такую "матрицу", нужно выбрать какую-либо нумерацию каждого из бесконечного семейства счётных множеств. Без аксиомы выбора (хотя бы в счётном варианте) это сделать нельзя.

[trostewus]

Но наше семейство счетных множеств ведь счетно..? Что выбирать то..?