2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.
 
 
Сообщение15.11.2008, 20:56 


12/09/08

2262
Someone в сообщении #158213 писал(а):
Формально в теореме о счётности объединения счётного множества счётных множеств никакой предыстории не предполагается. Предыстория - это опять же дополнительная информация.
Но эта дополнительная информация все же в применениях присутвует. Потому теорему о счетности объединения счетного множества счетных множеств можно безболезненно заменить на более слабую: eсли множество $\{(U_i, f_i)\,\vert\, f_i: U_i \to \mathbb{N}\}$ счетно, то $$\bigcup_i U_i$$ счетно, для доказательства которой аксиома выбора уже не нужна. Так или не так?
Someone в сообщении #158213 писал(а):
Факт состоит в том, что без аксиомы выбора может случиться так, что множество действительных чисел окажется объединением счётного множества счётных множеств
Что-то непонятно, как именно это может случиться.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.11.2008, 21:34 


18/10/08
622
Сибирь
Someone писал(а):
Инт в сообщении #154415 писал(а):
Но кроме того, именно в формальной теории, можно привести альтернативное формальное утверждение, которое так же содержательно выражает ту же идею, т.е., содержательную идею, что "каждое множество m из совокупности M счётно":


Постарайтесь всё-таки понять, что это две разные теоремы. В одной задано только счётное множество счётных множеств, а в другой, кроме этого, заданы ещё и биекции натурального ряда на эти множества. Вам, может быть, очень хочется, чтобы это было одно и то же, но это не одно и то же, поскольку количество информации о множествах разное. Аксиома выбора позволяет восполнить недостающую информацию, но без аксиомы выбора может оказаться, что взять её неоткуда, если уж она не задана.

...Факт состоит в том, что без аксиомы выбора может случиться так, что множество действительных чисел окажется объединением счётного множества счётных множеств, а это означает, что без какого-то ограниченного варианта аксиомы выбора доказать обсуждаемую теорему нельзя.


Таким образом, Вы признаёте, что сформулированная мною теорема есть теорема ZF.

С другой стороны, моё определение "счётности элементов входящих в M" может быть распространено на конечное множество M, в частности, на одноэлементное множество M. Кроме того, на множество M любой мощности. Другое дело, что моё определение более конструктивно и, кроме того, может использоваться, и на самом деле используется, в обычной математике. В смысле такого конструктивного определения, континуум не может быть объединением счётного множества счётных множеств.

Да, теоремы различны как формальные выражения теории ZF, но содержательно сформулированная мною теорема говорит в точности о том, что "счётное объединение счётных множеств счётно", соответствует смыслу указанного утверждения. Нет никаких формальных критериев, по которым следует предпочесть одну формулировку другой.

Я уже писал, что существует определённая неоднозначность смыслов формальных выражений ZF. Разным формальным выражениям может соответствовать один содержательный смысл (Это может быть полезно для практической многозначной логики. Формулируя содержательную математическую идею, мы должны рассмотреть её во всех смыслах, так что окончательный ответ той или иной задачи может быть неоднозначным, многозначным, имеющим несколько "да" и "нет". Скажем идея, которая была не доказуема в каком-то смысле, оказывается доказуемой в другом. Или, даже, доказуемы могут быть две различные формулы, несущие противоположный смысл, но формально не противоречащие друг другу. Но это будет ответ по существу).

Кроме того, я не затронул здесь другой, логический аспект проблемы. Суть его в том, что даже для конечного множества M, если пользоваться обычным (т.е. не моим) определением того, что значит "каждый элемент множества M счётен", по логике формалистов требуется аксиома выбора. Ситуация, которая возникает, примерно такова: когда утверждается, что "существует элемент f", то мы якобы не можем выделить никакой конкретный элемент f. В то время как, в практике обычных математических рассуждений это не так: мы выделяем такой элемент и можем рассуждать о нём как о конкретном, выделенном единичном элементе. В частности логические операции, вывод частных утверждений, касающийся такого элемента мы можем проводить "за кванторами". Употребление кванторов - само по себе уже содержит элемент оперирования с бесконечным количеством, и теория использования кванторов в логике, поэтому, далеко не завершена. Поэтому никто не доказал, что употребление неких естественных логических принципов при употреблении кванторов, не избавит нас от аксиомы выбора, что такое употребление обязательно должно быть эквивалентно аксиоме выбора. Например, можно предполагать, что оно сильнее аксиомы выбора.

Добавлено спустя 5 минут 52 секунды:

Цитата:
Что-то непонятно, как именно это может случиться.


Поддерживаю вопрос.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.11.2008, 00:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17262
Москва
Инт в сообщении #158502 писал(а):
Таким образом, Вы признаёте, что сформулированная мною теорема есть теорема ZF.


А я когда-нибудь отрицал?
Она есть теорема ZF, но это другая теорема.

Инт в сообщении #158502 писал(а):
Да, теоремы различны как формальные выражения теории ZF, но содержательно сформулированная мною теорема говорит в точности о том, что "счётное объединение счётных множеств счётно", соответствует смыслу указанного утверждения. Нет никаких формальных критериев, по которым следует предпочесть одну формулировку другой.


Есть. У этих теорем различные условия. Вследствие чего одна теорема (стандартная) сильнее, другая (Ваша) - слабее.

Инт в сообщении #158502 писал(а):
Разным формальным выражениям может соответствовать один содержательный смысл


Может, но в рассматриваемом случае это не так.

Инт в сообщении #158502 писал(а):
Кроме того, я не затронул здесь другой, логический аспект проблемы. Суть его в том, что даже для конечного множества M, если пользоваться обычным (т.е. не моим) определением того, что значит "каждый элемент множества M счётен", по логике формалистов требуется аксиома выбора.


Это Вы о ком? Желательно, со ссылками на опубликованные работы.

вздымщик Цыпа в сообщении #158494 писал(а):
Но эта дополнительная информация все же в применениях присутвует.


Вы это точно знаете?

вздымщик Цыпа в сообщении #158494 писал(а):
Что-то непонятно, как именно это может случиться.


Feferman S., Lévy A., Independence Results in Set Theory by Cohen's Method, II, Amer. Math. Soc. Notices, 10 (1963), 593.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.11.2008, 10:41 


18/10/08
622
Сибирь
Someone писал(а):
У этих теорем различные условия. Вследствие чего одна теорема (стандартная) сильнее, другая (Ваша) - слабее.

Инт в сообщении #158502 писал(а):
Разным формальным выражениям может соответствовать один содержательный смысл


Может, но в рассматриваемом случае это не так.


Смысл моей формулировки достаточен для того, чтобы доказывать известные математические факты, требующие использования содержательного факта, что "счётное объединение счётных множеств счётно".

Я нигде не отрицаю, что аксиома выбора - сильное средство. Однако, в ZF существует достаточное количество адекватных средств, чтобы обойтись без использования этой аксиомы чисто математическими методами.

Несколько позже, я укажу достаточно сильные логические средства, которые используются в содержательной математике, и которые позволяют обойтись без аксиомы выбора.

Добавлено спустя 6 минут 31 секунду:

Someone писал(а):


Инт в сообщении #158502 писал(а):
Кроме того, я не затронул здесь другой, логический аспект проблемы. Суть его в том, что даже для конечного множества M, если пользоваться обычным (т.е. не моим) определением того, что значит "каждый элемент множества M счётен", по логике формалистов требуется аксиома выбора.


Это Вы о ком? Желательно, со ссылками на опубликованные работы.


Аргументация по этому поводу несколько позже. Но уже сейчас задам Вам вопрос: пусть известно только то, что множество М конечно (число элементов не известно) и каждый элемент множества М счётен. При Вашем подходе, дайте пожалуйста доказательство теоремы, что "объединение конечного множества счётных множеств счётно" без использования аксиомы выбора.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.11.2008, 12:46 


12/09/08

2262
Someone писал(а):
вздымщик Цыпа в сообщении #158494 писал(а):
Но эта дополнительная информация все же в применениях присутвует.


Вы это точно знаете?
Нет, не точно. Потому там в конце фразы и было написано «так или не так?».

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.11.2008, 12:56 
Заслуженный участник


11/05/08
31922
Инт в сообщении #158646 писал(а):
и каждый элемент множества М счётен

а кто-нибудь может объяснить, что может означать словосочетание "счётный элемент"? ...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.11.2008, 13:06 
Экс-модератор


17/06/06
5004
ewert в сообщении #158685 писал(а):
а кто-нибудь может объяснить, что может означать словосочетание "счётный элемент"? ...
Думаю, это означает "элемент, являющийся счетным множеством".

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.11.2008, 16:26 


18/10/08
622
Сибирь
ewert писал(а):
а кто-нибудь может объяснить, что может означать словосочетание "счётный элемент"? ...


Именно так, как думает AD. В теории множеств все предметы теории - множества. В частности, любой элемент любого множества - есть множество. "Счётный элемент" означает "элемент некоторого множества, являющийся неким другим счётным множеством".

Добавлено спустя 34 минуты 33 секунды:

Someone писал(а):
То обстоятельство, что из счётности объединения счётного множества счётных множеств легко вывести частные случаи аксиомы выбора, также означает, что обойтись совсем без этой аксиомы нельзя.


Действительно, ключевой является информация о том, что можно закрепить функции, по одной, за каждым элементом множества М. И без этой информации, видимо, невозможно обойтись. Однако, мы исследуем вопрос, когда эта информация может быть получена средствами ZF тем или иным путём без использования аксиомы выбора в качестве независимой аксиомы. В частности, изложенная мною математическая теорема показывает какие математические средства можно использовать, чтобы выразить содержательную идею о том, что "счётное объединение счётных множеств счётно".

Готовлю аргументацию и насчёт логических средств.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.11.2008, 16:56 


12/09/08

2262
Someone в сообщении #158605 писал(а):
Feferman S., Lévy A., Independence Results in Set Theory by Cohen's Method, II, Amer. Math. Soc. Notices, 10 (1963), 593.
Где бы это взять так, чтоб не ходить ногами далеко по местности? :) В ams.org Notices только с 1995 года, а нагуглить ничего не получилось :(

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.11.2008, 18:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3536
Швеция
вздымщик Цыпа
У меня доступа к этому году нет. Видимо, это значит, что и нигде нет. Придется идти ногами. Но я завтра, если не забуду, погляжу на работе.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.11.2008, 20:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17262
Москва
Инт в сообщении #158646 писал(а):
Смысл моей формулировки достаточен для того, чтобы доказывать известные математические факты, требующие использования содержательного факта, что "счётное объединение счётных множеств счётно".


Нет. Ещё раз: предлагаемая Вами теорема - другая теорема. С другими условиями. Мы же обсуждаем вполне определённую формальную теорию (ZF) и вполне определённую теорему этой теории в стандартной её формулировке.
Достаточна ли Ваша формулировка - решать тому, кто ей пользуется. Я в своей научной деятельности регулярно встречался с ситуациями, в которых Ваша формулировка недостаточна.
В любом случае обсуждение Вашей теоремы здесь является оффтопиком.

Инт в сообщении #158646 писал(а):
Я нигде не отрицаю, что аксиома выбора - сильное средство. Однако, в ZF существует достаточное количество адекватных средств, чтобы обойтись без использования этой аксиомы чисто математическими методами.


В ZF - не существует. Если бы существовало, аксиомы выбора не было бы.

Инт в сообщении #158646 писал(а):
Несколько позже, я укажу достаточно сильные логические средства, которые используются в содержательной математике, и которые позволяют обойтись без аксиомы выбора.


В "содержательной", то есть, неформализованной теории средства доказательства не зафиксированы. Вы просто можете взять, допустим, некоторое обобщение метода индукции, которое обычно применяется, и сказать, что он не использует аксиомы выбора. Смысла в этом утверждении не будет, потому что в неформализованной теории аксиомы не зафиксированы, и невозможно определить, какие из них используются. В ZF этот метод будет неформализуем и, следовательно, его применение запрещено, а в ZFC он будет формализоваться с помощью аксиомы выбора.

Инт в сообщении #158646 писал(а):
Аргументация по этому поводу несколько позже. Но уже сейчас задам Вам вопрос: пусть известно только то, что множество М конечно (число элементов не известно) и каждый элемент множества М счётен. При Вашем подходе, дайте пожалуйста доказательство теоремы, что "объединение конечного множества счётных множеств счётно" без использования аксиомы выбора.


У меня нет ни времени, ни желания этим заниматься. Возьмите книгу

К.Куратовский, А.Мостовский. Теория множеств. "Мир", Москва, 1970.

В главе V, § 2, имеется требуемое доказательство. Там же можно найти и предлагаемый Вами вариант теоремы об объединении счётных множеств.

Инт в сообщении #158763 писал(а):
В частности, изложенная мною математическая теорема показывает какие математические средства можно использовать, чтобы выразить содержательную идею о том, что "счётное объединение счётных множеств счётно".


Применяемое Вами "средство" сводится к ослаблению теоремы за счёт усиления её условия.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.11.2008, 13:00 


18/10/08
622
Сибирь
Someone писал(а):

Нет. Ещё раз: предлагаемая Вами теорема - другая теорема. С другими условиями. Мы же обсуждаем вполне определённую формальную теорию (ZF) и вполне определённую теорему этой теории в стандартной её формулировке.
Достаточна ли Ваша формулировка - решать тому, кто ей пользуется. Я в своей научной деятельности регулярно встречался с ситуациями, в которых Ваша формулировка недостаточна.


Я обсуждаю содержательную часть теоремы. И лишь использую ZF для выражения содержательного смысла теоремы.

Стало ясно в чём различие позиций сторон и в чём может быть совпадение.

Моя позиция исходит из некоей математической практики разрешения задач теории множеств, когда теорию множеств целесообразно развивать как “теорию констант”, “теорию конкретных предметов”, т.е. как теорию эффективно конструируемых предметов (в этом смысле, это “конкретно предъявленные предметы”). Ситуация с употреблением аксиомы выбора аналогична некой ситуации в логической теории, когда логическая аксиома может быть заменена на эквивалентное правило вывода, и после замены, сама логическая аксиома в каком-то смысле не нужна. В случае теории множеств (не обязательно ZF), если по всякому предъявлению множеств-элементов из множества M мы можем эффективно предъявить функции, соответствующие “по одной” каждому элементу множества M, то нет необходимости обращаться к более общему постулату, т.е. к самой аксиоме выбора как к формуле. Т.е. нам не требуется аксиома выбора, если мы располагаем неким эффективным “правилом вывода” таких функций.

Сформулированная мною теорема (возможно, она требует уточнений, т.к. сформулирована лишь в ZF и в рамках дискуссии) работает тогда, когда нет возможности опираться на аксиому выбора и строить при помощи её какие-либо другие множества. В то же время, у нас есть достаточное количество эффективно построенных множеств и трансфинитных алгоритмов, которые мы можем использовать для применения теоремы. Мало того, в рассуждениях для всех известных конкретных счётных множеств можно обойтись без формулировки как общей, так и частной аксиомы выбора, выделив требуемые функции некоторым алгоритмом.

Признаю, что без аксиомы выбора не обойтись в случае, когда теория строится так, что множества определены в общем виде, не как “конкретно предъявленные предметы”, и нам приходится неконструктивно выделять элементы множеств, для получения ясных результатов.

Форма теоремы не играет особой роли. Усиление условия означает лишь то, что я требую большей чёткости в формальном выражении в том, что считать за "каждый элемент множества М счётен". Такое уточнение вполне оправдано.

Обычная математическая практика строится так, что множества появляются в ней в некотором конкретном порядке как константы. Например, континуум действительных чисел строится как конкретное множество, число «пи» - как конкретное число и т.д. Математику можно строить так, что из одних конкретных предметов можно получать другие конкретные предметы эффективными средствами. Поэтому, “эффективный подход” оправдан некоей “базой индукции”. При этом, отношу к эффективным средствам и некоторые трансфинитные алгоритмы, и говорю о конструктивности не обязательно понимаемой в узком, например, гёделевом смысле.

Обобщения, на “базе индукции”, состоящей из “конкретных предметов” мы не можем строить слишком произвольно, т.е. не можем произвольно приписывать конкретным предметам не проверенные тем или иным способом аксиомы, даже если такие аксиомы не противоречат первоначальным аксиомам, которым удовлетворяет “база индукции”. Вернее, мы можем без противоречия приписать к первоначальным аксиомам новые аксиомы, но тогда, полученной системе аксиом будут удовлетворять другие предметы.

Преимуществом “эффективной стратегии” является то, что, в случае нахождения алгоритмов (понимаемых содержательно), они дают реальное знание и избавляют от приписывания конкретным множествам произвольных непроверенных обобщений. Есть основания считать, что аксиома выбора может нарушаться конкретно (такие примеры могу дать лишь в личной переписке). Эти примеры в чистом виде интуиционистские, т.е. могут быть предъявлены конкретно, но вряд ли выводимы дедуктивным путём – непосредственно очевидны. Нарушение наблюдается уже “среди счётных множеств”, и некоторым образом связано с потенциальностью обычных последовательностей, с “неодновременностью существования” элементов этих последовательностей.

 Профиль  
                  
 
 Простите за оффтоп...
Сообщение17.11.2008, 16:30 


24/05/05
277
МО
Но режет глаз слово некой. Правильно: некоей.
См. Толковый словарь русского языка С.И. Ожегова и Н.Ю. Шведовой.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.11.2008, 18:24 


18/10/08
622
Сибирь
sceptic писал(а):
Но режет глаз слово некой. Правильно: некоей.
См. Толковый словарь русского языка С.И. Ожегова и Н.Ю. Шведовой.


Учёл. Исправил в одном месте. Найдёте ещё ошибки пишите.

Кроме того, всякий раз когда предъявлено конкретное счётное множество М, составленное из конкретных счётных множеств, можно доказать счётность объединения элементов, входящих в М, не используя аксиому выбора, т.е. средств теории оказывается достаточно, чтобы не прибегать к частной или общей ссылке на аксиому выбора.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простите за оффтоп...
Сообщение17.11.2008, 22:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6310
sceptic писал(а):
Но режет глаз слово некой. Правильно: некоей.
См. Толковый словарь русского языка С.И. Ожегова и Н.Ю. Шведовой.

По ссылке двойная норма: некоей и некой.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 79 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group