Скорость роста площади квадрата

[damir_777]

Здравствуйте.
Имеется такая задача: Стороны квадрата увеличиваются со скоростью 2 сантиметра в секунду. Если сторона квадрата равна 10 см, то какова скорость роста площади квадрата?
Применяя производные, находим скорость роста 40 квадратных сантиметров в секунду.
Я не пойму, что это значит. Если через секунду стороны квадрата равны 12 сантиметров, то площадь равна 144 квадратных сантиметра, и разница равна 44 квадратным сантиметрам, а не 40. Далее, через 2 секунду площадь будет 196 кв. см, и разница между площадью квадрата со стороной 12 сантиметров будет уже 52 кв. сантиметра, а не 40. Хотя скорость прироста площади постоянна

[mihaild]

damir_777 в сообщении #1603677 писал(а):

Стороны квадрата увеличиваются со скоростью 2 сантиметра в секунду. [...] сторона квадрата равна 10 см

Эти два условия противоречат друг другу. Если сторона квадрата увеличивается, то она не может быть равна 10 см "вообще", максимум - в какой-то момент времени.
И производная показывает скорость увеличения площади в этот момент времени. Неформально - в тот момент, когда сторона квадрата стала равна 10 см, изменение площади за очень малый промежуток времени $\Delta t$ секунд будет примерно $(\Delta t) \cdot 40$ квадратных сантиметров.

damir_777 в сообщении #1603677 писал(а):

Хотя скорость прироста площади постоянна

Не постоянна, а зависит от текущей длины стороны.

[damir_777]

Ну то есть вначале есть квадрат со стороной 10 см. А потом его стороны начаниют увеличиваться каждую секунду на 2 см.
То есть я перепутал скорость роста площади с приростом площади на значение производной получается...

[zykov]

damir_777
Постройте график площади от времени.
Скорость роста - наклон касательной. Что с ней происходит?

[damir_777]

zykov в сообщении #1603685 писал(а):

damir_777
Постройте график площади от времени.
Скорость роста - наклон касательной. Что с ней происходит?

Ну график представляет линию, соответственно наклон касательной не меняется в каждой точке, это и говорит о том что скорость меняется на одну и ту же величину. Я просто не могу это предствить графически, если я начертил квадрат 10 на 10, а потом 12 на 12, то как эти изменеия на квадратах показать, может область какая то заштрихованная должна быть , показывающая эти изменеия. Если конечно вообще возможно показать скорость таким образом

[Dedekind]

damir_777 в сообщении #1603683 писал(а):

Ну то есть вначале есть квадрат со стороной 10 см.

Для простоты можете считать, что вначале был квадрат со стороной 0 см. А потом, каждую секунду, сторона увеличивалась на 2 см. Требуется найти производную в момент, когда сторона равна 10 см (то есть, спустя 5 секунд).

damir_777 в сообщении #1603688 писал(а):

Ну график представляет линию

Неверно. Напишите формулами: 1) Выражение для длины стороны квадрата в зависимости от времени, 2) Выражение для площади квадрата в зависимости от стороны. Подставьте одно в другое и постройте график площади от времени.

[KhAl]

Это всё чушь про графики...

Смотритье, штука в том, что длина квадрата меняется непрерывно -- то есть два сантиметра в секунду это ещё и сантиметр в полсекунды, и полсантиметра в четверть секунды, и так далее... Вы разбили временной ряд на доли по секунде, и получили значение $44$ $\text{см}^2/\text{с}$. Разбивая на доли по полсекунды, получите $42$ $\text{см}^2/\text{с}$, и так далее. Понятие же мгновенной скорости состоит в том, что Вы должны всё уменьшать и уменьшать эти доли (секунда, полсекунды, треть...) и смотреть, к чему при этом стремится отношение $\frac{\text{приращение площади}}{\text{длина интервала времени}}$. Если посчитать, получится как раз $40$ $\text{см}^2/\text{с}$

-- 02.08.2023, 18:08 --

А подходящая картинка есть здесь https://youtu.be/S0_qX4VJhMQ?t=156 ($x^2$ $\text{см}^2$ это площадь квадрата в момент времени $x$ с, при скорости изменения длины 1 см/с, всё сводится к подсчёту её производной, и в видео визуализируют этот подсчёт)

[damir_777]

KhAl в сообщении #1603695 писал(а):

Это всё чушь про графики...

Смотритье, штука в том, что длина квадрата меняется непрерывно -- то есть два сантиметра в секунду это ещё и сантиметр в полсекунды, и полсантиметра в четверть секунды, и так далее... Вы разбили временной ряд на доли по секунде, и получили значение $44$ $\text{см}^2/\text{с}$. Разбивая на доли по полсекунды, получите $42$ $\text{см}^2/\text{с}$, и так далее. Понятие же мгновенной скорости состоит в том, что Вы должны всё уменьшать и уменьшать эти доли (секунда, полсекунды, треть...) и смотреть, к чему при этом стремится отношение $\frac{\text{приращение площади}}{\text{длина интервала времени}}$. Если посчитать, получится как раз $40$ $\text{см}^2/\text{с}$

А ,ну то есть это фактически предел отношения при стремлении интервала времени к нулю. По сути это и есть производная.
Хотя график я тоже построил), это парабола (как композиция двух функций зависимости сторон от времени и зависимости площади от времени).
Я просто не мог уловить суть этой скорости роста функции.
Я как то решал пример , где дана функция роста популяции. Скажем, в водоем запускается начальная популяция рыб. Функция роста популяции выражает зависимость количества особей от времени выраженной в годах. Например, условно, через 5 лет получается что рыб будет 3000 шт.
Производная в этой точке дает к примеру 286 рыб в год , т.е скорость размножения после 5 лет. Я думал что это приращение функции роста популяции. Т.е к 6 годам должно быть 3286 рыб, но в точке 6 функция даёт скажем 3500 рыб, т.е. не совпадает . И я не мог понять что эти 286 рыб обозначают. Т.е. получается если мы устремляем время к нулю, то отношение приращения популяции к этому времени и есть 286 рыб.

-- 02.08.2023, 20:13 --

т.е.в очень коротки промежуток времени появилось 286рыб, потом через такой же очень коротки промежуток, близкий к нулю еще 286 рыб и т.д. А в точке 6 (через 6 лет) производная уже другая, т.к. график более крутой. Скажем равна 312 рыбам. Опять таки количество рыб через
очень короткие промежутки, близкие к нулю. Ну и производная больше, потому что популяция выросла, скорость размножения увеличилась

-- 02.08.2023, 20:25 --

Небольшое уточнение: постоянный прирост в 286 рыб будет только если график между точками 5 и 6 представляет прямую линию.
Если я правильно понял, и график не прямая линия между этим интервалом, то в каждой точке интервала будет свой прирост, своя "многовенная скорость", который в сумме должен дать значение в точке 6

[svv]

damir_777
Я придумал для Вас очень интересную задачу.
Сторона квадрата увеличивается со скоростью $2\;\frac{\text{см}}{\text{с}}$. Найти вторую производную площади квадрата по времени.

(Ответ)

$8\;\frac{\text{см}^2}{\text{с}^2}$

[damir_777]

svv в сообщении #1603700 писал(а):

damir_777
Я придумал для Вас очень интересную задачу.
Сторона квадрата увеличивается со скоростью $2\;\frac{\text{см}}{\text{с}}$. Найти вторую производную площади квадрата по времени.

(Ответ)

$8\;\frac{\text{см}}{\text{с}^2}$

Мм.. вторая производная , например, при движении объекта обозначает ускорение. Здесь такой же смысл, ускорение роста площади? Просто должна быть единица измерения сантиметров в секунду за секунду, если я конечно прав

-- 02.08.2023, 20:38 --

А, извините, не заметил, да там в квадрате секунда)

[mihaild]

damir_777 в сообщении #1603699 писал(а):

т.е.в очень коротки промежуток времени появилось 286рыб

Нет, в очень короткий промежуток времени появилось 286 рыб умножить на длину этого промежутка (в годах). За секунду например появится примерно $\frac{286}{365 \cdot 24 \cdot 60 \cdot 60}$ рыб.
(в предположении, что количество рыб непрерывно, и появившаяся чешуйка от рыбы немедленно начинает принимать участие в размножении).

damir_777 в сообщении #1603699 писал(а):

Если я правильно понял, и график не прямая линия между этим интервалом, то в каждой точке интервала будет свой прирост, своя "многовенная скорость", который в сумме должен дать значение в точке 6

Да, именно так. Эта "сумма" (когда мы "суммируем" прирост на бесконечном числе бесконечно малых интервалов) называется интегралом.

[svv]

Ну, когда сама величина (путь) измеряется в $\text{см}$, то производная по времени (скорость) в $\frac{\text{см}}{\text{с}}$, а вторая производная (ускорение) в $\frac{\text{см}}{\text{с}^2}$, что часто читается как «сантиметры в секунду за секунду».

Если же сама величина (площадь) измеряется в $\text{см}^2$, то, соответственно — всюду вместо $\text{см}$ будут $\text{см}^2$.

Да, это аналог ускорения.

[damir_777]

Спасибо за ответы.Очень помогли. Сейчас более понятен смысл роста функции

[Евгений Машеров]

damir_777 в сообщении #1603677 писал(а):

Я не пойму, что это значит. Если через секунду стороны квадрата равны 12 сантиметров, то площадь равна 144 квадратных сантиметра, и разница равна 44 квадратным сантиметрам, а не 40. Далее, через 2 секунду площадь будет 196 кв. см, и разница между площадью квадрата со стороной 12 сантиметров будет уже 52 кв. сантиметра, а не 40. Хотя скорость прироста площади постоянна

Если мы рассмотрели прирост стороны с 10 до 12 см, то прирост площади составил 44 кв.см., и ошибка по сравнению с расчётом по производной 10%. Если прирост с 10 до 11 см, то прирост площади 21 кв.см., а расчёт по производной даст 20 кв.см., ошибка 5%. Если прирост с 10 см до 10.000001 см, то прирост составит 0.000020000001, то есть погрешность пять миллионных процента. То есть чем меньше мы берём прирост, тем точнее ответ. Но мы говорим о скорости роста в момент, когда размер квадрата равен 10 см, а не 12, 11 или даже 10.000001 см, то есть прирост стремится к нулю.
Кстати, эта проблема неожиданно всплывает в экономическом анализе. "Численность рабочих выросла на 10%, производительность труда на 20%, какая часть прироста объёма продукции объясняется каждым фактором?". И простейшее рассуждение, общий объём выпуска вырос на 32%, на 10% из-за роста числа рабочих, на 20% из-за роста производительности труда, чья заслуга ещё 2%? Правильного ответа по указанной выше причине быть не может, хотя предложено несколько "практичных" (делить поровну, делить пропорционально, всё относить к одному их факторов и т.п.).

[svv]

Евгений Машеров в сообщении #1603794 писал(а):

общий объём выпуска вырос на 32%, на 10% из-за роста числа рабочих, на 20% из-за роста производительности труда, чья заслуга ещё 2%?

Заслуга третьего фактора, который можно назвать «совместное действие роста числа рабочих и роста производительности».