fixfix
2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 New Year 2023. No.2
Сообщение12.01.2023, 15:43 


01/08/19
103
Let $B_n^k$ be the coefficients in the polynomial expansion $\left(1+x+x^2\right)^n=\sum_{k=0}^{2n}B_n^k x^k.$ Prove that for all prime number $p$, $s<p, r<p$ hold:
$$B_{mp+r}^{lp+s}\equiv \left(B_m^l\cdot B_r^s+B_m^{l-1}\cdot B_r^{s+p}\right)\pmod p.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: New Year 2023. No.2
Сообщение24.07.2023, 09:01 


01/08/19
103
This is one old Problem from Kvant ( No 4 from 1972. ). I think it is useful to prove first: $$B_n^k=B_n^{2n-k}.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: New Year 2023. No.2
Сообщение02.08.2023, 12:25 


01/08/19
103
My solution:
We use two facts:
$$X^n-Y^n=(X-Y)\cdot (X^{n-1}+X^{n-2}\cdot Y+...+X\cdot Y^{n-2}+X^{n-1}),$$if $m$ and $n$ are relatively prime numbers then $n\mid \binom{n}{m}.$
Now, it's obiviously
$$p\mid (X+Y)^p-(X^p+Y^p),$$so it's
$$p\mid \left((1+x)+x^2\right)^p-\left((1+x)^p+x^{2p}\right).$$But, $p\mid \sum_{k=2}^{p-1} \binom{p}{k} x^k$ so we can write
$$p\mid (1+x+x^2)^p-(1+x^p+x^{2p}).$$We define
$$P(x)=(1+x+x^2)^{mp+r}-(1+x+x^2)^r\cdot (1+x^p+x^{2p})^n$$$$=(1+x+x^2)^r\cdot \left[(1+x+x^2)^{mp}-(1+x^p+x^{2p})^m \right]$$$$=(1+x+x^2)^r\cdot \left[(1+x+x^2)^p-(1+x^p+x^{2p})\right]\cdot\left[(1+x+x^2)^{p(n-1)}+\cdots+(1+x^p+x^{2p})^{n-1}\right]$$$$\Rightarrow p\mid P(x).$$Now we look at the coefficient with $x^{lp+s}$ in the development of the expression:
1) $B_{mp+r}^{lp+s}$ is coefficient in $(1+x+x^2)^{mp+r};$
2) $$(1+x+x^2)^r\cdot (1+x^p+x^{2p})^n=(1+B_r^1 x+B_r^2 x^2+\cdots+\boxed{B_r^sx^s}+\cdots+\boxed{B_r^{s+p} x^{s+p}}+
\cdots+x^{2r})$$
$$\cdot(1+B_m^1 x^p+B_m^2 x^{2p}+\cdots+\boxed{B_m^{l-1}x^{(l-1)p}}+\boxed{B_m^lx^{lp}}+\cdots+x^{2pm})$$
By multiplication marked expression give the coefficient with $x^{lp+s}$ and it is $B_m^l\cdot B_r^s+B_m^{l-1}\cdot B_r^{s+p}$$\blacksquare$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group