0,999...=1

[Doctor Boom]

Vladimir Pliassov в сообщении #1602584 писал(а):

Но даже если бы она стояла на месте, догонит ли ее Ахиллес? Пусть он движется к ней так, что его первый шаг равен половине расстояния до нее, второй шаг -- четверти расстояния и так далее. Определение предела говорит, что он при достаточном числе шагов придвинется к ней насколько угодно близко, но оно не говорит, что он ее достигнет.

Для этого надо ввести время, которое складывается из времени шагов. Тогда если при достаточном числе шагов Ахиллес может продвинуться к черепахе сколь угодно близко, и одновременно может пройти сколько угодно близко к $T$ снизу число секунд, то можно сказать, что в момент времени $T$ Ахиллес догонит черепаху. Это конечно при естественном условии, что мы все можем доопределять по непрерывности

[KhAl]

Цитата:

Читал Фихтенгольца. Равенство чисел определяется через сечения.

это замечательно. А Вас не смутило, что уже в определении вещественного числа фигурирует пара бесконечных множеств (сечение), ещё до всяких там рядов? Никуда от бесконечности не деться.

Цитата:

Об этом я, думаю, тоже читал, но сразу не могу вспомнить (у меня очень плохая память), не можете ли напомнить, о чем это?

Ну, если Вы с определением через сечения работаете, это не очень важно. Просто можно так определять вещественные числа -- как последовательности цифр, аккуратно введя там сложение, умножение, отношение $<$...

Цитата:

Мне кажется, что основное определение ряда очень простое, это бесконечная сумма чисел

ну нет! если вы говорите, что ряд это бесконечная сумма, вы должны тут же определить, что такое бесконечная сумма, иначе вы заменяете одно непонятное слово другим непонятным словом.

Цитата:

Я решал задачи на пределы последовательностей из Фихтенгольца, больше пяти.

хоспаде, откуда Вы тогда понабрались записей вида

Цитата:

$$\lim \frac {9}{10}+\frac {9}{100}+\frac {9}{1000}+\ldots=1.$$

? Понимаете, в чём штука, чтобы говорить о пределе последовательности, нужно, чтобы была задана последовательность...

Цитата:

а как пределы последовательностей частичных сумм?

если Вы это "знаете", почему за Вас это определение пришлось выписать mihaild? ну, после того, как он это сделал, чтобы окончательно понять равенство, вам нужно решить седьмую (или какую там) в своей жизни задачу на нахождение предела. после первых шести это должно быть несложно.

хочется ещё сказать, что вообще-то современное понятие предела намного ближе к потенциальной бесконечности, чем то, что делал Лейбниц, но это ничего не изменит. математика (со строгими определениями) $>$ философия математики.

[Лукомор]

Vladimir Pliassov в сообщении #1602584 писал(а):

Но даже если бы она стояла на месте, догонит ли ее Ахиллес? Пусть он движется к ней так, что его первый шаг равен половине расстояния до нее, второй шаг -- четверти расстояния и так далее.

Поменяв условие задачи таким образом, Вы ровным счетом ничего не изменили.
Просто перешли из десятичной системы счисления в двоичную, где точно также:
$0,(1)_2=1_2$

Полезнее было бы не изменять численные значения, а просто остановить черепаху.
Пусть Ахиллес движется так, что его первый шаг равен 0,9 расстояния до черепахи,
второй шаг - 0,09 и так далее. Черепаха при этом стоит на месте.
И мы приходим все к тому же равенству 0,(9)=1, и убеждаемся еще раз, что Ахиллес
настигнет черепаху, просто потому, что исходное расстояние между ними = 100 метров, а Ахиллес бежит с постоянной скоростью 10 метров в секунду. Вот ровно за 10 секунд и настигнет...

[Red_Herring]

Vladimir Pliassov в сообщении #1602584 писал(а):

Но даже если бы она стояла на месте, догонит ли ее Ахиллес?

А вот идёте вы по дороге, и вас догоняет автомобиль. Вы будете рассуждать "а догонит ли он меня?" или отойдёте в сторону?

[Vladimir Pliassov]

Лукомор в сообщении #1602663 писал(а):

Полезнее было бы не изменять численные значения, а просто остановить черепаху.

Я тоже об этом сказал выше, я спросил, что делать с тем, что черепаха сама ползет и тащит с собой предел. И я сам рассматривал эту задачу с условием, что черепаха остается на месте.

Лукомор в сообщении #1602663 писал(а):

Поменяв условие задачи таким образом, Вы ровным счетом ничего не изменили.
Просто перешли из десятичной системы счисления в двоичную, где точно также:
$0,(1)_2=1_2$

Да, конечно, все равно, какая система. Я и не думал о системе, просто у меня в голове где-то звучали слова: "Столько, да полстолько, да четверть столько ..." А оказалось -- как я теперь увидел, -- что я решал задачу в двоичной системе.

Лукомор в сообщении #1602663 писал(а):

И мы приходим все к тому же равенству 0,(9)=1, и убеждаемся еще раз, что Ахиллес
настигнет черепаху, просто потому, что исходное расстояние между ними $= 100$ метров, а Ахиллес бежит с постоянной скоростью 10 метров в секунду. Вот ровно за 10 секунд и настигнет...

Doctor Boom в сообщении #1602656 писал(а):

Для этого надо ввести время, которое складывается из времени шагов. Тогда если при достаточном числе шагов Ахиллес может продвинуться к черепахе сколь угодно близко, и одновременно может пройти сколько угодно близко к $T$ снизу число секунд, то можно сказать, что в момент времени $T$ Ахиллес догонит черепаху. Это конечно при естественном условии, что мы все можем доопределять по непрерывности

Во всяком случае, если не привлекать время, а исходить только из понятия предела расстояния, не догонит? Я думаю, что не догонит, потому что по этому понятию он может насколько угодно близко подвинуться к черепахе, но не может ее достичь.

Однако, если привлечь время, то задача усложняется.

А если и часовая стрелка будет двигаться так же: столько, да полстолько ... ? (А как иначе?) Она ведь тоже никогда не дойдет до момента времени $T$?

Red_Herring в сообщении #1602671 писал(а):

А вот идёте вы по дороге, и вас догоняет автомобиль. Вы будете рассуждать "а догонит ли он меня?" или отойдёте в сторону?

Если он меня и задавит, то не по понятиям (пределов).

KhAl в сообщении #1602660 писал(а):

А Вас не смутило, что уже в определении вещественного числа фигурирует пара бесконечных множеств (сечение), ещё до всяких там рядов? Никуда от бесконечности не деться.

Я признаю существование бесконечных множеств, я просто хотел бы их понять по возможности, но, как я уже говорил, можно их не понимать и при этом принимать их существование за аксиому, и я это делаю.

KhAl в сообщении #1602660 писал(а):

хоспаде, откуда Вы тогда понабрались записей вида

Цитата:

$$\lim \frac {9}{10}+\frac {9}{100}+\frac {9}{1000}+\ldots=1.$$

? Понимаете, в чём штука, чтобы говорить о пределе последовательности, нужно, чтобы была задана последовательность...

Конечно, запись

$$\lim \frac {9}{10}+\frac {9}{100}+\frac {9}{1000}+\ldots=1$$

не соответствует правилам, хотя и можно догадаться, что она значит, в частности, по-моему, последовательность задана, потому что легко можно усмотреть, какими будут ее остальные члены. Но, разумеется, надо выражаться строже. Меня сегодня за эту запись уже критиковали, должно быть

$$\lim_{n\to \infty}\frac {9}{10^1}+\frac {9}{10^2}+\ldots+\frac {9}{10^n}=1.$$

KhAl в сообщении #1602660 писал(а):

ну нет! если вы говорите, что ряд это бесконечная сумма, вы должны тут же определить, что такое бесконечная сумма, иначе вы заменяете одно непонятное слово другим непонятным словом.

Мне казалось, что очевидно, что это такое, но, вероятно, здесь есть подводные камни. Какие?

[Red_Herring]

Vladimir Pliassov в сообщении #1602676 писал(а):

Если он меня и задавит, то не по понятиям (пределов).

Вы р разделе ПРР и поэтому вы обязаны отвечать на вопрос

Цитата:

А вот идёте вы по дороге, и вас догоняет автомобиль. Вы будете рассуждать "а догонит ли он меня?" или отойдёте в сторону?

,а не рассуждать "по понятиям", тем более тем более что в теории пределов ваши понятия лежат в левой части комплексной плоскости.

[wrest]

Vladimir Pliassov в сообщении #1602676 писал(а):

А если и часовая стрелка будет двигаться так же: столько, да полстолько ... ? (А как иначе?) Она ведь тоже никогда не дойдет до момента времени $T$?

Вы уверенно идёте по стопам Зенона. Самое время вспомнить Дихотомию, так что стрелка не то что не дойдёт, а даже "никогда" и не сдвинется
Поскольку тела все-таки ходят, бегают и т.п., где-то есть подвох, на который обратил внимание Пушкин:

Цитата:

Движенья нет, сказал мудрец брадатый.
Другой смолчал и стал пред ним ходить.
Сильнее бы не мог он возразить;
Хвалили все ответ замысловатый.

Но есть ещё вторая часть стихотворения, не менее искрометная, чем приведенная выше:

Цитата:

Но, господа, забавный случай сей
Другой пример на память мне приводит:
Ведь каждый день пред нами солнце ходит,
Однако ж прав упрямый Галилей.

[Doctor Boom]

Vladimir Pliassov в сообщении #1602676 писал(а):

Во всяком случае, если не привлекать время, а исходить только из понятия предела расстояния, не догонит?

Тогда нельзя ответить на вопрос, потому что "догонит" это про когда. Если брать только абстрактные дискретные шаги, то можно определить результат через бесконечное число шагов опять же через предел и непрерывность

Vladimir Pliassov в сообщении #1602676 писал(а):

Однако, если привлечь время, то задача усложняется.

А если и часовая стрелка будет двигаться так же: столько, да полстолько ... ? (А как иначе?) Она ведь тоже никогда не дойдет до момента времени $T$?

Наоборот, задачка решается) Все верно, только вам в рассуждениях не нужно достигать момента $T$ чтобы утверждать, что в нем Ахилл догонит черепаху (опять из принятия постулата о доопределении по непрерывности, потому что в задаче он предполагается)

[wrest]

Vladimir Pliassov в сообщении #1602676 писал(а):

Мне казалось, что очевидно, что это такое, но, вероятно, здесь есть подводные камни. Какие?

"Бесконечная сумма" это фигура речи. Как раз об этом тема «Что такое ряд?» и там есть подводные камни. Почитайте что такое ряд у Фихтенгольца, а не в Википедии.

[Евгений Машеров]

Red_Herring в сообщении #1602678 писал(а):

тем более тем более что в теории пределов ваши понятия лежат в левой части комплексной плоскости.

...зато мнимая часть неограниченно возрастает...

[Лукомор]

Vladimir Pliassov в сообщении #1602676 писал(а):

Я тоже об этом сказал выше, я спросил, что делать с тем, что черепаха сама ползет и тащит с собой предел.

А просто не нужно зацикливаться на черепахе и ее движении.
Рассмотрите сразу отрезок, от точки, из которой Ахиллес стартует, до точки, где он уже догнал черепаху.
Если обозначить этот путь, пройденный Ахиллесом в погоне за черепахой, буквой $S$,
и пересчитать все шаги Ахиллеса в доли этого отрезка, то окажется, что начальное расстояние между Ахиллесом и черепахой, которое он должен пройти на своем первом шаге, составляет ровно $0,9S$. Второй отрезок пройденный Ахиллесом будет уже иметь длину $0,09S$ и так далее.
Имеем то же равенство $0,(9)=1$, но в этом случае длина пути, пройденного Ахиллесом, равна $S$, и не изменяется по ходу движения.
Теперь можно еще отдельно рассмотреть движение черепахи.
Она пройдет, до того момента, когда ее настигнет Ахиллес, расстояние $s=0,1S$.
И это расстояние будет состоять из всех тех же отрезков, которые пройдет и Ахиллес, за исключением первого: $0,1S=0,09S+0,009S+...=0,0(9)S$.

-- Чт июл 27, 2023 10:01:56 --

Vladimir Pliassov в сообщении #1602676 писал(а):

Во всяком случае, если не привлекать время, а исходить только из понятия предела расстояния, не догонит?

Если привлекать время, то тоже не все однозначно.
Может быть - догонит, может быть догонит, перегонит, и уйдет далеко вперед, а может быть и не догонит. В конечном итоге все зависит от того, когда судья остановит секундомер...
Пусть начальное расстояние между Ахиллесом и черепахой равно $100$ метрам, а их скорости $10$ м/сек и 1 м/сек соответственно. Теперь возьмите отрезок, пройденный Ахиллесом до первого контроля времени равным не $100$, а $101$ метру, соответственно, следующие отрезки будут $10,1$; $1,01$ и.т.д. метров. Аналогично и у черепахи.
И посчитайте, на котором шагу Ахиллес уже не только догонит черепаху, но и окажется впереди.
Это одна задачка.
А вторая, то же самое, только отрезки будут нарезаны $99$ метров, $9.9$; $0,99$ и.т.д. метров.
В этом случае Ахиллес не только не догонит черепаху, но даже и не приблизится к ней ближе, чем на метр... А все дело - в секундомере...

[Утундрий]

Лукомор в сообщении #1602716 писал(а):

все дело - в секундомере...

Как вариант. Но имеется также мнение, что всё дело в первичности.

[mihaild]

(Оффтоп)

Vladimir Pliassov в сообщении #1602676 писал(а):

я просто хотел бы их понять по возможности, но, как я уже говорил, можно их не понимать и при этом принимать их существование за аксиому, и я это делаю.

Люис Кэрролл (возможно) писал(а):

— Как тебя понимать?
— Понимать меня необязательно. Обязательно любить и кормить вовремя.

[TOTAL]

Если Ахиллесов 2 штуки, то один из них точно догонит и перегонит черепаху.

[Утундрий]

Внезапно пришла мысль, а догонит ли Ахиллес себя?