Определитель матрицы специального вида

[Ёж]

Здравствуйте!
Дана матрица специального вида

$$ \left( \begin{array}{ccсccc} a_{1} & a_{0} & 0 & 0 &\ \ ...\ \ &0\\ a_{2} & a_{1} & a_{0} &0 &\ \ ...\ \ &0\\ a_{3} & a_{2} & a_{1} &a_{0} &\ \ ...\ \ &0\\ ...&...&...&...&...&...\\ a_{n-2} & a_{n-3} & a_{n-4} &a_{n-5} &\ \ ...\ \ &0\\ a_{n-1} & a_{n-2} & a_{n-3} &a_{n-4} &\ \ ...\ \ &a_{0}\\ a_{n} & a_{n-1} & a_{n-2} &a_{n-3} &\ \ \ \ \ \ \ ...\ \ \ \ \ \ \ &a_{1} \end{array} \right). $$

Подскажите, пожалуйста, литературу, где рассматриваются свойства определителя данной матрицы?

[mihaild]

Это матрица Тёплица. Для них есть (даже в английской википедии) алгоритм, считающий определитель за $O(n^2)$.
Но у Вас еще дополнительно куча нулей, может это позволит что-то улучшить (но тут я уже ничего не знаю).

[Ёж]

mihaild в сообщении #1602600 писал(а):

Это матрица Тёплица. Для них есть (даже в английской википедии) алгоритм, считающий определитель за $O(n^2)$.
Но у Вас еще дополнительно куча нулей, может это позволит что-то улучшить (но тут я уже ничего не знаю).

Спасибо большое!

[Евгений Машеров]

А отгауссячить наддиагональ, а потом перемножить диагональные элементы?

[Утундрий]

Тогда поимеем рекуррентную процедуру. Например, для $n=3$ сие будет выглядеть так:
Делай раз!

$$a'_1=a_1-a_0 \; \dfrac{a_2}{a_1}, \qquad a'_2=a_2-a_0 \; \dfrac{a_3}{a_1}$$

Делай два!

$$a''_1=a_1-a_0 \; \dfrac{a'_2}{a'_1}$$

Делай три!

$$a_1 a'_1 a''_1$$

Обобщение на общий случай - общее место и предоставляется ТС-у.

[Евгений Машеров]

А вообще что надо? Посчитать или сформулировать какие-то теоремы относительно определителя?

[Утундрий]

Просют литературу про свойства определителя. А какие у определителя свойства, кроме него самого? Определитель скаляр же.

[zgemm]

Проще обозначить $\det(A_n)=d_n$, тогда

$$d_1=a_1,$$

$$d_2=a_1^2-a_0 a_2,$$

$$...$$

$$d_n = a_1 d_{n-1} - a_0 a_2 d_{n-2}...$$

[Утундрий]

zgemm
Ну, это попросту не работает.