Интеграл

[bot]

Решить уравнение

$$\int\limits_0^x t^{8/3}(1-t)^{4/3}\, dt=\int\limits_0^1 t^{8/3}(1+t)^{-6}\, dt\,.$$

Ясно, что корень единственный и он меньше единицы - тупо проверил вольфрамом.
Интегралы можно вычислить Чебышёвскими подстановками.

$$ \int\limits_0^1 t^{8/3}(1+t)^{-6}\, dt=\boxed{t\to t^3}=3\int\limits_0^1 \frac{t^{10}\,dt}{(1+t^3)^6} $$

$$\int\limits_0^x t^{8/3}(1-t)^{4/3}\, ds=\boxed{t^{-1}-1\to t^3}= 3\int\limits_{\sqrt[3]{x^{-1}-1}}^{+\infty} \frac{t^6\,dt}{(1+t^3)^6}\,.$$

Разлагать на простейшие или остроградить что-то не тянет.
Когда-то давал эту задачу на олимпиаде - значит должен быть другой путь.
Нет, путь ничего не должен, а я должен был записать решение или оставить ссылку, где слямзил.

[Null]

$$\int\limits_0^1 \frac{t^{10}\,dt}{(1+t^3)^6} =\int\limits_1^{\infty} \frac{h^{-10}\,dh}{h^2(1+h^{-3})^6}=\int\limits_1^{\infty} \frac{h^{6}\,dh}{(h^3+1)^6}$$

$x=\frac{1}{2}$

[bot]

О-о-п-с, а чуть голову не вывихнул. Спасибо Null