2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Интеграл
Сообщение23.07.2023, 13:05 
Аватара пользователя
Решить уравнение
$$\int\limits_0^x t^{8/3}(1-t)^{4/3}\, dt=\int\limits_0^1 t^{8/3}(1+t)^{-6}\, dt\,.$$
Ясно, что корень единственный и он меньше единицы - тупо проверил вольфрамом.
Интегралы можно вычислить Чебышёвскими подстановками.
$$ \int\limits_0^1 t^{8/3}(1+t)^{-6}\, dt=\boxed{t\to t^3}=3\int\limits_0^1 \frac{t^{10}\,dt}{(1+t^3)^6} $$
$$\int\limits_0^x t^{8/3}(1-t)^{4/3}\, ds=\boxed{t^{-1}-1\to t^3}=
3\int\limits_{\sqrt[3]{x^{-1}-1}}^{+\infty} \frac{t^6\,dt}{(1+t^3)^6}\,.$$
Разлагать на простейшие или остроградить что-то не тянет.
Когда-то давал эту задачу на олимпиаде - значит должен быть другой путь.
Нет, путь ничего не должен, а я должен был записать решение или оставить ссылку, где слямзил.

 
 
 
 Re: Интеграл
Сообщение23.07.2023, 13:54 
$$\int\limits_0^1 \frac{t^{10}\,dt}{(1+t^3)^6} =\int\limits_1^{\infty} \frac{h^{-10}\,dh}{h^2(1+h^{-3})^6}=\int\limits_1^{\infty} \frac{h^{6}\,dh}{(h^3+1)^6}$$
$x=\frac{1}{2}$

 
 
 
 Re: Интеграл
Сообщение23.07.2023, 14:14 
Аватара пользователя
О-о-п-с, а чуть голову не вывихнул. Спасибо Null

 
 
 [ Сообщений: 3 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group