Почему эту последовательность можно считать сходящейся?

[Kuga]

В книге КФ, глава IX, параграф 2, пункт 4, при доказательстве теоремы Фредгольма, формулируется Лемма 1, и при ее доказательстве делают такое утверждение (без пояснений почему, как буд-то это очевидно):

Пусть $H$ - гильбертово пространство и $A$ - компактный оператор. Если $x_n\in H$ ортогональны к $\ker (I-A)$, и $||x_n||$ ограничены в совокупности, то можно считать, что $Ax_n$ - сходящая последовательность.

Т.е. получается, что $Ax_n$ - не обязана сходится, но можно считать ее сходящейся. Почему можно считать сходящейся? Откуда это следует?

[Padawan]

Компактный оператор переводит ограниченное множество в предкомпактное, значит, из последовательности $\{Ax_n\}$ можно выделить сходящуюся подпоследовательность $\{Ax_{n_k}\}$. Ну и будем сразу вместо последовательности $\{x_n\}$ рассматривать $\{ x_{n_k}\}$.