Рациональный интеграл

DGAPuser · 21/07/23 5

Прошу помочь со следующей задачей. Необходимо вычислить интеграл:
$\int \frac{dx}{x^{2n} + 1}$
Моё решение выглядит так:
Заметим, что знаменатель раскладывается на линейные множители вида $(x-x_k)$ , где:
$x_k = \exp\left(\frac{i\pi (1 + 2k)}{2n}\right), \ k \in \overline{0, 2n-1}$
Тогда если представить подинтегральное выражение в виде $\varphi(x)/\psi(x)$ , то, согласно, известной формуле:
$\frac{\varphi(x)}{\psi(x)} = \sum\limits_{k = 0}^{n-1} \frac{\left[\frac{\varphi(x_k)}{\psi'(x_k)} + \frac{\varphi(\overline{x_k})}{\psi'(\overline{x_k})} \right] x - \left[\overline{x_k} \frac{\varphi(x_k)}{\psi'(x_k)} + x_k \frac{\varphi(\overline{x_k})}{\psi'(\overline{x_k})} \right]}{x^2 - (x_k + \overline{x_k})x + x_k \overline{x_k}}$
В нашем случае:
$\frac{1}{x^{2n} + 1} = -\frac{1}{n}\sum\limits_{k = 0}^{n-1} \frac{x\cos(\varphi_k )- 1}{x^2 - 2x\cos{\varphi_k} + 1} \quad \left(\varphi_k \equiv \frac{\pi(1+2k)}{2n} \right)$
Тогда искомый интеграл будет равен (ответ для каждого члена суммы отличается на константу от ответа, получаемого при помощи Wolfram Mathematica):
$\int \frac{dx}{x^{2n} + 1} = -\frac{1}{n} \sum\limits_{k = 0}^{n-1} \left [\frac{\cos{\varphi_k}}{2} \ln(x^2 - 2x \cos{\varphi_k} + 1) - \arctg\left(\frac{x-\cos{\varphi_k}}{\sin{\varphi_k}} \right) \sin{\varphi_k }\right]$
Авторский ответ:
$\int \frac{dx}{x^{2n} + 1} = -\frac{1}{2n} \ln(x^{2n} + 1) + \frac{1}{4n} \sum\limits_{k = 0}^{n-1} \sin\left(\frac{(2k + 1)\pi}{n} \right) \arctg\left(\frac{x - \cos\left(\frac{(2k + 1)\pi}{n}\right)}{\sin\left(\frac{(2k + 1)\pi}{n}} \right) \right)$
Есть ли ошибки в моих вычислениях/рассуждениях и если нет, то как преобразовать мой ответ к авторскому?