Прошу помочь со следующей задачей. Необходимо вычислить интеграл:
![$$\int \frac{dx}{x^{2n} + 1}$$ $$\int \frac{dx}{x^{2n} + 1}$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/d/7/ad751a01e313ce237ad35c82eecfe0fa82.png)
Моё решение выглядит так:
Заметим, что знаменатель раскладывается на линейные множители вида
![$(x-x_k)$ $(x-x_k)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/8/b/c8bc0967541f307398900cfd0d66b9db82.png)
, где:
![$$x_k = \exp\left(\frac{i\pi (1 + 2k)}{2n}\right), \ k \in \overline{0, 2n-1}$$ $$x_k = \exp\left(\frac{i\pi (1 + 2k)}{2n}\right), \ k \in \overline{0, 2n-1}$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/0/a/40abf42097876baeb0c1e2292788de4782.png)
Тогда если представить подинтегральное выражение в виде
![$\varphi(x)/\psi(x)$ $\varphi(x)/\psi(x)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/1/1/711c62e671a349f546bdbe2238ed37af82.png)
, то, согласно, известной формуле:
![$$\frac{\varphi(x)}{\psi(x)} = \sum\limits_{k = 0}^{n-1} \frac{\left[\frac{\varphi(x_k)}{\psi'(x_k)} + \frac{\varphi(\overline{x_k})}{\psi'(\overline{x_k})} \right] x - \left[\overline{x_k} \frac{\varphi(x_k)}{\psi'(x_k)} + x_k \frac{\varphi(\overline{x_k})}{\psi'(\overline{x_k})} \right]}{x^2 - (x_k + \overline{x_k})x + x_k \overline{x_k}}$$ $$\frac{\varphi(x)}{\psi(x)} = \sum\limits_{k = 0}^{n-1} \frac{\left[\frac{\varphi(x_k)}{\psi'(x_k)} + \frac{\varphi(\overline{x_k})}{\psi'(\overline{x_k})} \right] x - \left[\overline{x_k} \frac{\varphi(x_k)}{\psi'(x_k)} + x_k \frac{\varphi(\overline{x_k})}{\psi'(\overline{x_k})} \right]}{x^2 - (x_k + \overline{x_k})x + x_k \overline{x_k}}$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/1/0/010c9427b31e9bb72496992c0843e2b282.png)
В нашем случае:
![$$\frac{1}{x^{2n} + 1} = -\frac{1}{n}\sum\limits_{k = 0}^{n-1} \frac{x\cos(\varphi_k )- 1}{x^2 - 2x\cos{\varphi_k} + 1} \quad \left(\varphi_k \equiv \frac{\pi(1+2k)}{2n} \right)$$ $$\frac{1}{x^{2n} + 1} = -\frac{1}{n}\sum\limits_{k = 0}^{n-1} \frac{x\cos(\varphi_k )- 1}{x^2 - 2x\cos{\varphi_k} + 1} \quad \left(\varphi_k \equiv \frac{\pi(1+2k)}{2n} \right)$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/c/9/ec96122467ccf1ef46306681ece4867482.png)
Тогда искомый интеграл будет равен (ответ для каждого члена суммы отличается на константу от ответа, получаемого при помощи Wolfram Mathematica):
![$$\int \frac{dx}{x^{2n} + 1} = -\frac{1}{n} \sum\limits_{k = 0}^{n-1} \left [\frac{\cos{\varphi_k}}{2} \ln(x^2 - 2x \cos{\varphi_k} + 1) - \arctg\left(\frac{x-\cos{\varphi_k}}{\sin{\varphi_k}} \right) \sin{\varphi_k }\right]$$ $$\int \frac{dx}{x^{2n} + 1} = -\frac{1}{n} \sum\limits_{k = 0}^{n-1} \left [\frac{\cos{\varphi_k}}{2} \ln(x^2 - 2x \cos{\varphi_k} + 1) - \arctg\left(\frac{x-\cos{\varphi_k}}{\sin{\varphi_k}} \right) \sin{\varphi_k }\right]$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/9/e/09e863dcb3600995668c8209447741d782.png)
Авторский ответ:
![$$\int \frac{dx}{x^{2n} + 1} = -\frac{1}{2n} \ln(x^{2n} + 1) + \frac{1}{4n} \sum\limits_{k = 0}^{n-1} \sin\left(\frac{(2k + 1)\pi}{n} \right) \arctg\left(\frac{x - \cos\left(\frac{(2k + 1)\pi}{n}\right)}{\sin\left(\frac{(2k + 1)\pi}{n}} \right) \right) $$ $$\int \frac{dx}{x^{2n} + 1} = -\frac{1}{2n} \ln(x^{2n} + 1) + \frac{1}{4n} \sum\limits_{k = 0}^{n-1} \sin\left(\frac{(2k + 1)\pi}{n} \right) \arctg\left(\frac{x - \cos\left(\frac{(2k + 1)\pi}{n}\right)}{\sin\left(\frac{(2k + 1)\pi}{n}} \right) \right) $$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/2/6/b26f30870f118f4a7c474580a48397eb82.png)
Есть ли ошибки в моих вычислениях/рассуждениях и если нет, то как преобразовать мой ответ к авторскому?