Задача про геометрическую прогрессию

[Stepan-S]

Здравствуйте.
Решал задачу 4.7.3 из сборника МФТИ под ред. Кудрявцева.

Условие. Найти сумму $1 + 2x + 3x^2 + \ldots + (n+1)x^n$.

Разбил сумму на следующие отрезки: $(1 + x + x^2 + \ldots + x^n) + (x + x^2 + \ldots + x^n) + \ldots + x^n$. При $x \neq 0, x \neq 1$ можно применить формулу суммы первых членов геометрической прогрессии. Сделал это, после преобразований появился ещё один отрезок геометрической прогрессии, сложил его, получил следующий ответ:
$S_n = \frac{1 - (n+2)x^{n+1} + (n+1)x^{n+2}}{(1-x)^2}$.

При $x=1$ получается арифметическая прогрессия, всё понятно.

Интересный для меня момент появляется при $x=0$. $S_n$ тогда равна 1, это понятно. Но если подставить это значение $x$ в полученную выше формулу для $S_n$, то она тоже выдаст 1, хотя при её выводе использовалось условие, что $x \neq 0$. Это просто совпадение или тут что-то более тонкое?

[Sinoid]

Stepan-S в сообщении #1601313 писал(а):

Условие. Найти сумму $1 + 2x + 3x^2 + \ldots + (n+1)x^n$.

Stepan-S в сообщении #1601313 писал(а):

Разбил сумму на следующие отрезки: $(1 + x + x^2 + \ldots + x^n) + (x + x^2 + \ldots + x^n) + \ldots + x^n$. ...

Все проще: это - производная.

[iifat]

Stepan-S в сообщении #1601313 писал(а):

она тоже выдаст 1, хотя при её выводе использовалось условие, что $x \neq 0$

А откуда там это условие? Вы ничего не путаете?
Ну, в общем случае, если формула верна при $x\neq0$, это не означает, что она не верна в нуле. Доказательство, да, неверно, а результат может (а может и не) оказаться правильным.

Sinoid в сообщении #1601314 писал(а):

Все проще: это - производная

Да оно и так несложно. Разумеется, есть десяток (как минимум) способов посчитать сумму. ТС выбрал тот, который выбрал.

[Stepan-S]

iifat в сообщении #1601315 писал(а):

А откуда там это условие? Вы ничего не путаете?

По определению, данному в задачнике, знаменатель геометрической прогрессии не равен нулю. Отрезки, на которые я разбил сумму, удобнее складывать справа налево, значит, знаменатель г. п. в каждом отрезке будет равен $x^{-1}$. Там ещё сокращения $x^{n+1}$ будут при преобразовании.

Sinoid в сообщении #1601314 писал(а):

Все проще: это - производная.

В начале этого задачника знание производной не предполагается. К тому же, не намного это и проще. Да, суммировать геометрическую прогрессию надо один раз (опять же, при условии $x \neq 0$), но появляется производная дроби, так что возня и в этом случае неизбежна.

[KhAl]

Stepan-S в сообщении #1601313 писал(а):

Это просто совпадение или тут что-то более тонкое?

1. можно воспользоваться непрерывностью. $\frac{1 - (n+2)x^{n+1} + (n+1)x^{n+2}}{(1-x)^2}$ и $1 + 2x + 3x^2 + \ldots + (n+1)x^n$ это две непрерывные в нуле функции, которые в окрестности нуля совпадают. Значит, они совпадают и в нуле.

2. сколько корней у многочлена

$$\bigg(1 - (n+2)x^{n+1} + (n+1)x^{n+2}\bigg) - \bigg((1-x)^2(1 + 2x + 3x^2 + \ldots + (n+1)x^n)\bigg)$$

? Что из этого следует?

[Stepan-S]

KhAl в сообщении #1601332 писал(а):

это две непрерывные в нуле функции, которые в окрестности нуля совпадают. Значит, они совпадают и в нуле.

Это понял, спасибо.

Второй пункт не понял. Многочлен получается нулевой. Вы на что-то отличное от пункта 1 пытались здесь намекнуть?

[svv]

Stepan-S в сообщении #1601313 писал(а):

то она тоже выдаст 1, хотя при её выводе использовалось условие, что $x \neq 0$

А как это условие использовалось? Де-юре прогрессия со знаменателем $0$ — не прогрессия, а де-факто она сохраняет (не все, но) многие свойства геометрической прогрессии, в частности, формула для суммы $n$ первых членов остаётся в силе.

[KhAl]

Stepan-S в сообщении #1601397 писал(а):

Многочлен получается нулевой.

Ну дык если многочлен нулевой, то он и при $x=0$ нулевой

-- 17.07.2023, 21:37 --

P.S. с svv согласен. Просто захотелось показать интересный приём.

[Stepan-S]

svv в сообщении #1601402 писал(а):

А как это условие использовалось? Де-юре прогрессия со знаменателем $0$ — не прогрессия, а де-факто она сохраняет (не все, но) многие свойства геометрической прогрессии, в частности, формула для суммы $n$ первых членов остаётся в силе.

Так я вот тут написал

Stepan-S в сообщении #1601331 писал(а):

Отрезки, на которые я разбил сумму, удобнее складывать справа налево, значит, знаменатель г. п. в каждом отрезке будет равен $x^{-1}$. Там ещё сокращения $x^{n+1}$ будут при преобразовании.

Складывал я отрезки справа налево, чтобы первый член всегда был равен. Выкладки получились такими:
$S_n = x^n \cdot \frac{x^{-(n+1)}-1}{x^{-1}-1} + x^n \cdot \frac{x^{-n}-1}{x^{-1}-1} + x^n \cdot \frac{x^{-(n-1)}-1}{x^{-1}-1} + \ldots + x^n \cdot \frac{x^{-1}-1}{x^{-1}-1} = \\ = \frac{x^n}{x^{-1}-1} \cdot \left( (x^{-(n+1)} + x^{-n} + x^{-(n-1)} + \ldots + x^{-1}) - (n+1)\right) = \frac{x^n}{x^{-1}-1} \cdot \left(\frac{x^{-(n+1)}(x^{n+1}-1)}{x-1} - (n+1)\right) = \frac{1 - (n+2)x^{n+1} + (n+1)x^{n+2}}{(1-x)^2}.$

С непрерывностью мне аргумент понравился. Я и сам что-то подобное пытался сообразить, но знаний маловато, поэтому ничего разумного сам изобразить не смог.