2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 ... 34  След.
 
 Re: Попытка доказательства теоремы ферма 3
Сообщение16.07.2023, 03:44 


29/08/09
691
Combat Zone в сообщении #1601171 писал(а):
natalya_1 в сообщении #1601170 писал(а):
Вам не лень было прошерстить тему, чтобы найти эти цитаты?

Я вообще удивляюсь, насколько людям не лень: они даже пытаются составить самостоятельно доказательство из этих обрывков.

Мое доказательство написано на первой странице темы. Никаких обрывков, а за интерпретации других участников и перевирание моих слов я не отвечаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства теоремы ферма 3
Сообщение16.07.2023, 08:58 


29/08/09
691
Ферма утверждал, что уравнение $x^n+x'^n=z^n$ не имеет решений в рациональных числах.
Попробуем доказать обратное.

Предположим, что такое решение существует

при $x=a$, $x'=b$, $z=c$, $n=m$, где $a$, $b$, $c$ - целые положительные взаимно простые числа и $a>b$, то есть $a^m+b^m=c^m$. $m$-целое
положительное число $m>3$

1.1. $a^{n-2}+b^{n-2}=c^{n-2}+d$, где
$d$ - целое положительное число
$a^{2}1+b^{2}=c^{2}+p$, где $p$- целое положительное число.


1.2. $a^{m-2}+b^{m-2}-c^{m-2}=d$,
$a^{m-1}+b^{m-1}-c^{m-1}=p$ Перемножаем левые и правые части, получаем: $pa^{m-2}+pb^{m-2}-pc^{m-2}=a^{m-1}d+b^{m-1}d-c^{m-1}d$, $a^{m-2}(ad-p)+b^{m-2}(bd-p)=c^{m-2}(cd-p)

1.3. $a^{m-2}(ad-p)+b^{m-2}(bd-p)=c^{m-2}(cd-p)$, $a^m+b^m=c^m$ (п.1.1). Перемножаем левые и правые части, получаем:$c^{m}a^{m-2}(ad-p)+c^{m}b^{m-2}(bd-p)=a^{m}c^{m-2}(cd-p)+b^{m}c^{m-2}(cd-p)$ , следовательно,
$(cd-p)a^m-c^{2}da^{m-1}+c^{2}pa^{m-2}=-((cd-p)b^m-c^{2}db^{m-1}+c^{2}pb^{m-2})$ .

2.1.1 функция $y=(cd-p)x^m-c^{2}dx^{m-1}+c^{2}px^{m-2}$ в точках $a$ и $b$ принимает одинаковые значения разных знаков и она является целой рациональной функцией, непрерывна и определена при всех значениях $x$, следовательно, между $a$ и $b$ существует точка ( назовем ее
$h$, значение функции в которой равно $0$.

2.1.3 Найдем все точки, значение функции в которых равно нулю.

$(cd-p)x^m-c^{2}dx^{m-1}+c^{2}px^{m-2}=0$.
$x=0$ или

$(cd-p)x^2-c^{2}dx+c^{2}p=0$
$D=c^4d^2-4(cd-p)c^2p$,
$x=\frac{c^{2}d\mp\sqrt{c^2(cd-2p)^2}}{2(cd-p)}$
отсюда
$x=c$ или $x=\frac{cp}{cd-p}$.
Поскольку $a<c$, $b>0$, $h=\frac{cp}{cd-p}$ -рациональное число.

3.1.1.Найдём критические точки функции
$y=(cd-p)x^{m}-c^{2}dx^{m-1}+c^{2}px^{m-2}$
$y'=m(cd-p)x^{m-1}-(m-1)c^2dx^{m-2}+(m-2)c^2px^{m-3}$
$y'=0$ если $x=0$ или
$m(cd-p)x^2-(m-1)c^2dx+(m-2)c^2px=0$
$D=(m-1)^2c^4d^2-4m(m-2)(cd-p)c^2p=c^2((m-1)^2c^2d^2-4m(m-2)cdp+4m(m-2)p^2)$
$x=\frac{c^2d\mp{c\sqrt{(m-1)^2c^2d-4m(m-2)cdp+4m(m-2)p^2}}}{2m(cd-p)}$

3.1.1 Найдём точки перегиба функции
$y''=m(m-1)(cd-p)x^{m-2}-(m-2)(m-1)c^2dx^{m-3}+(m-2)(m-3)c^2px^{m-4}$
$y''=0$ если $x=0$ (при m>4) или
$m(m-1)(cd-p)x^2-(m-1)(m-2)c^2dx+(m-2)(m-3)c^2p$
$D=(m-1)^2(m-2)^2c^4d^2-4m(m-1)(m-2)(m-3)c^2p(cd-p)$
$x=\frac{(m-1)(m-2)c^2d\mp\sqrt{D}}{2m(m-1)(cd-p)}$
3.1.2. Исследуем точку $0$ на перегиб ($m>4$)
$y'''=m(m-1)(m-2)x^{m-3}-(m-1)(m-2)(m-3)x^{m-4}+(m-2)(m-3)(m-4)c^2px^{m-5}$
Поскольку значение третьей производной в точке $0$ не равно нулю только при $m=5$,
$0$ будет точкой перегиба только при $m=5$.
В остальных случаях доказательство будет таким же как при $m=3$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства теоремы ферма 3
Сообщение16.07.2023, 09:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2310
МО
natalya_1 в сообщении #1601170 писал(а):
Вам не лень было прошерстить тему, чтобы найти эти цитаты?

Не поверите - даже и не думал! Просто открыл на первой странице и стал подряд выписывать. На второй пришлось остановиться, так как сообщение стало "распухать".
natalya_1 в сообщении #1601170 писал(а):
Описки - Это не ошибки

Хм, описки, значит, а не ошибки?
Цитата:
- Воду из крана пить нельзя. Она буроватая, как пиво, и пахнет мочой.
Ученички загрязнили колодец. Дворник говорит, что посылал воду в Кливленд
на анализ и оттуда пришел короткий ответ: "Ваша лошадь больна диабетом..."

Если описок СТОЛЬКО, откуда вообще знать, что в Ваших текстах есть что-то, кроме описок?
natalya_1 в сообщении #1601170 писал(а):
И вы не нашли у меня ошибку в доказательстве.

natalya_1 в сообщении #1599582 писал(а):
Я предлагаю на этом закончить, я не состоянии вам объяснить

Цитата:
Поздравляю вас, гражданин, соврамши!

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства теоремы ферма 3
Сообщение16.07.2023, 09:50 


29/08/09
691
Для $m=5$.

$a+a_1+a_2=0+h+c=b+b_1+b_2$

Первый вариант

$a_1<0<b<b_1<h<a_2<a$
Поскольку $0$ -точка перегиба, $a_1=-b$ -целое число , $a_2$ - рациональное число.
$a+a_1+a_2=\frac{c^2d}{cd-p}$. $a_2=\frac{c^2d}{cd-p}-(a-b)=\frac{c^2d-(a-b)(cd-p)}{cd-p}$
$(a_2^m+b^m)(cd-p)-c^2d(a_2^{m-1}+b^{m-1})+c^2p(a_2^{m-2}+b^{m-2})=0$
$a_2+b=\frac{c^2d-(a-2b)(cd-p)}{cd-p}$
${a-2b}$ не имеет общего делителя с $c$ (Кроме возможных $3$ и $2$ ), $a_2$ и
$b$ не имеют общего делителя с $c$,
Поэтому этот вариант невозможен.

Второй вариант
$a_1<0<b_1<b<h<a_2<a$


Третий вариант
$a_1<0<b_1<b<h<a<a_2$ (Они доказываются одинаково)


Распишу завтра :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства теоремы ферма 3
Сообщение16.07.2023, 11:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7057
Onoochin в сообщении #1601102 писал(а):
Что кубическое ур-ние с целыми коэффициентами в общем случае ,не может иметь три рациональных корня, факт очевидный и проверяется на массе примеров.

Эта фраза оказалась выше моего понимания :-(

Пока подозреваю, что в моей голове термины "общий случай" и "может" конфликтуют между собой и выясняют, кто из них главнее :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства теоремы ферма 3
Сообщение16.07.2023, 11:58 


13/05/16
361
Москва
natalya_1 в сообщении #1601145 писал(а):
Дайте мне, пожалуйста, в личку ссылку на сообщения с уравнениями, напишу. как я их вывела.

Хорошо
natalya_1 в сообщении #1601155 писал(а):
Могу поспорить, что вы, так же, как и большинство отписавшихся здесь гадостями и плоскими шуточками, не вникали в моё доказательство,
а поверили тому что написал Onoochin .
И это тоже не достойно математиков, принимать что-то на веру.
Бывает, что люди ошибаются, бывает, что врут, всему нельзя верить .
Удивительно, что такие простые истины до математикoв доносит художник, а не наоборот.
И уж тем более не достойно стадное подпевание.

За всех говорить не буду, но лично для меня ваше доказательство для показателя 3 понять трудно, так как у вас мало комментариев.
natalya_1 в сообщении #1601158 писал(а):
Я вас попрошу больше это не писать. Я вас услышала, вы меня - нет. Всё равно какому многочлену принадлежат эти корни, речь идёт не о корнях и многочленах, а конкретных числах, их значениях и соотношениях.
Это не переменные!!!!!!!

natalya_1 в сообщении #1601158 писал(а):
Ничего не должно. Как хочу эти числа, так и называю. И преобразование с верными равенствами имею права делать без ваших многочленов.
Это не переменные!!!!!!!

Этот факт я понял лучше всего
Onoochin в сообщении #1601160 писал(а):
Вы занимаетесь оскорблениями, и предлагаете Вам не отвечать?

Тема превращается в выяснения отношений
natalya_1 в сообщении #1601170 писал(а):
Описки - Это не ошибки.
ошибки, даже самые мелкие, я всегда признаю
Вам не лень было прошерстить тему, чтобы найти эти цитаты?
Ни одна из этих ошибок по невнимательности или описок не повлияла на итоговое доказательство.

Раз у вас есть опечатки, нет ли опечаток в ваших переменных $a_i,b_i$, которыми вы оперируете? Я поначалу подумал, что ваша $b_2''$ это опечатка и один штрих лишний, то есть у вас реально есть переменные с двумя штрихами?
natalya_1 в сообщении #1601161 писал(а):
Antoshka Посмотрите, пожалуйста, концовку доказательства.

Давайте сначала уберём все описки
natalya_1 в сообщении #1601172 писал(а):
Мое доказательство написано на первой странице темы. Никаких обрывков, а за интерпретации других участников и перевирание моих слов я не отвечаю.

Не надо спешить. У вас там в пятом по моему пункте имеет место нечитаемая абракадабра, о чем я вам писал здесь
natalya_1 в сообщении #1601177 писал(а):
Ферма утверждал, что уравнение $x^n+x'^n=z^n$ не имеет решений в рациональных числах.
Попробуем доказать обратное.

Это очередная версия доказательства общего случая. Однако в конце написано
natalya_1 в сообщении #1601177 писал(а):
В остальных случаях доказательство будет таким же как при $m=3$.

Получается, что общий случай и показатель три связаны. Какое доказательство мне смотреть, непонятно и где концовка его?
Которое в первом сообщении, судя по всему
natalya_1 в сообщении #1601180 писал(а):
Третий вариант
$a_1<0<b_1<b<h<a<a_2$ (Они доказываются одинаково)


Распишу завтра

Это опять общий случай пошёл, судя по всему. Ждём завтра тогда
мат-ламер в сообщении #1601194 писал(а):
Эта фраза оказалась выше моего понимания :-(

Это надо понимать так, что кубическое уравнение с произвольными коэффициентами не обязано иметь три рациональных корня

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства теоремы ферма 3
Сообщение16.07.2023, 15:43 


13/05/16
361
Москва
natalya_1 в сообщении #1601177 писал(а):
если $x=0$ (при m>4) или
$m(m-1)(cd-p)x^2-(m-1)(m-2)c^2dx+(m-2)(m-3)c^2p$

Знак равенства потерян
natalya_1 в сообщении #1601177 писал(а):
Поскольку значение третьей производной в точке $0$ не равно нулю только при $m=5$,
$0$ будет точкой перегиба только при $m=5$.

Вот это проверить надо

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства теоремы ферма 3
Сообщение16.07.2023, 16:57 


29/08/09
691
Antoshka в сообщении #1601200 писал(а):

За всех говорить не буду, но лично для меня ваше доказательство для показателя 3 понять трудно, так как у вас мало комментариев.

Так я же готова дать любые комментарии.

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства теоремы ферма 3
Сообщение16.07.2023, 17:02 
Заслуженный участник


23/05/19
1147
natalya_1
Если не секрет, какая Ваша конечная цель? То есть, когда Вы решите, что доказательство таки завершено? Когда перестанут поступать вопросы участников? Или когда какое-то количество участников (если да, то какое именно?) подтвердит, что все правильно и ошибок нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства теоремы ферма 3
Сообщение16.07.2023, 17:06 


29/08/09
691
Antoshka в сообщении #1601200 писал(а):


Раз у вас есть опечатки, нет ли опечаток в ваших переменных $a_i,b_i$, которыми вы оперируете? Я поначалу подумал, что ваша $b_2''$ это опечатка и один штрих лишний, то есть у вас реально есть переменные с двумя штрихами?


Господи, помоги! как мне ещё объяснить, что в моём доказательстве нет никаких переменных?

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства теоремы ферма 3
Сообщение16.07.2023, 17:13 


13/05/16
361
Москва
natalya_1 в сообщении #1601230 писал(а):
Так я же готова дать любые комментарии.

Я не понимаю, откуда берутся у вас все точки, кроме $a,a_1,b,b_1$ например оттуда берётся точка $b_1''$?

-- 16.07.2023, 17:14 --

natalya_1 в сообщении #1601233 писал(а):
Господи, помоги! как мне ещё объяснить, что в моём доказательстве нет никаких переменных?

Это я описался уже. Прошу прощения

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства теоремы ферма 3
Сообщение16.07.2023, 17:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2310
МО

(Оффтоп)

Antoshka в сообщении #1601200 писал(а):
natalya_1 в сообщении #1601158

писал(а):
Ничего не должно. Как хочу эти числа, так и называю. И преобразование с верными равенствами имею права делать без ваших многочленов.
Это не переменные!!!!!!!
Этот факт я понял лучше всего

А Вы не могли бы объяснить, что это за таинственные "непеременные"? если Вам удалось это понять..
Чем они отличаются от переменных?

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства теоремы ферма 3
Сообщение16.07.2023, 19:02 


29/08/09
691
Antoshka в сообщении #1601235 писал(а):
natalya_1 в сообщении #1601230 писал(а):
Так я же готова дать любые комментарии.

Я не понимаю, откуда берутся у вас все точки, кроме $a,a_1,b,b_1$ например оттуда берётся точка $b_1''$?


Постаралась почистить и подправить.

1.Есть функция $f(x)=(cd-p)x^3-c^2dx^2+c^2px$.
Она в точках $a$ и $b$ принимает одинаковые значения разных знаков $f(a)=-f(b)$.

2.Найдя точки, в которых она равна нулю и критические точки, мы пришли к выводу, что такие же значения она принимает в других точках:
$(fa)=f(a_1)=f(a_2)$, $f(b)=f(b_1)=f(b_2)$.

3. Нашли точку перегиба функции $k=\frac{c^2d}{3(cd-p)}$

3.множество корней многочлена тождественно множеству корней соответствующего уравнения,
$(cd-p)x^3-c^2dx^2+c^2px=0$, $f(0)=f(h)=f(c)$, $h=\frac{cp}{cd-p}$
$a+a_1+a_2=b+b_1+b_2=0+h+c=\frac{c^2d}{cd-p}$

Далее
на примере варианта $a_1<0<b<b_1<h<a_2<a<c$

4.Выполним параллельный перенос и графика f(x) параллельно оси $OX$ $f_1(x)=f(x)-2f(k)$.
Затем выполним параллельный перенос графика $f_1(x)$ параллельно оси $OY$
$f_2(x)=f_1(x-(k-h))$
где $k$ - точка перегиба функции $f(x)$

$f_2(h_1)=f_2(0)=f_2(c)=0$
$\frac{h_1+h}{2}=\frac{h+(h+3(k-h))}{2}=\frac{c}{2}$, $h_1-h=((3k-2h)-h)=3(k-h)$

В результате этих двух последовательных параллельных переносов
получаем симметрию относительно $\frac{c}{2}$:

точка $b$ симметрична точке $a'$ ,
точка $b_1$ симметрична точке $a_2''$
точка $b_2$ симметрична точке $a_1'$
точка $a$ симметрична точке$b'$
точка $a_1$ симметрична точке $b_2'$
точка $a_2$ симметрична точке $b_2'$
точка $h_1$ симметрична точке $h$
$f_2(a')=f_2(a_1')=f_2(a_2'')=f(a)=f(a_1)=f(a_2)$,
$f_2(b')=f_2(b_1'')=f_2(b_2')=f(b)=f(b_1)=f(b_2)$.




5.Выполним параллельный перенос и графика $f_2(x)$ параллельно оси $OY$
$f_3(x)=f_2(x+(h_1-h))$

Получим точки $b_1'$
$b_1'=b_1''-(h_1-h)$, $f_3(b_1')=f_2(b_1'')=f(b)$
$a_2'$
$a_2'=a_2''-(h_1-h)$, $f_3(a_2')=f_2(a_2'')=f(a)$
$h_1-h=2(\frac{c}{2}-h)=\frac{c^2d-cp-2cp}{cd-p}=\frac{c(cd-3p)}{cd-p}=3(k-h)$





6.$f_2(h_1)=f(h)=f(0)=f_2(0)=f(c)=f_2(c)=0$, $h_1=h+3(k-h)$
$b+b_1+b_2=a+a_1+a_2=0+h+c$,
$b'+b_1''+b_2'=a'+a_1'+a_2''=0+h_1+c$.
$b'+(b_1'+3(k-h))+b_2'=0+(h+3(k-h))+c$ , следовательно,
$b'+b_1'+b_2'=0+h+c=b+b_1+b_2$
Аналогично
$a'+a_1'+a_2'=0+h+c=a+a_1+a_2$

отсюда
$b-b'=(b_1'-b_1)+(b_2'-b_2')$
$a-a'=(a_1'-a_1)+(a_2'-a_2)$

7.$a+b'=c$,
$b+a'=c$
$a+b=c+d$, следовательно $a-a'=b-b'=d$

8.$b_1+a_2'=b_1+a_2''-\frac{c(cd-3p)}{cd-p}=c-\frac{c(cd-3p)}{cd-p}=2h$,
$b_2+a_1=c-(b_2'-b_2)$;
$a+b=c+(a-a')=c+d$
$(a_2'-a_2)+(b_2'-b_2)=d$.

Далее

$b_2'-b_1'=b_2'-(b_1''-\frac{c(cd-3p)}{cd-p})=(a_2'-a_1')+\frac{c(cd-3p)}{cd-p}$,
$b_2'-b_1'=(c-a_1)-(2h-a_2)=(a_2-a_1)+(c-2h)=(a_2-a_1)+\frac{c(cd-3p)}{cd-p}=b_2-b_1$,
$(b_2'-b_2)=(b_1'-b_1)=\frac{d}{2}$.
Отсюда
$a_1+b_2=c-\frac{d}{2}$- рациональное число,
$a_2+b_1=2h-\frac{d}{2}$- рациональное число.


9. $a_1+b_2$ - рациональное число


$(a_1^3+b_2^3)(cd-p)-c^2d(a_1^2+b_2^2)+c^2p(a_1+b_2)=0$
$(a_1+b_2)((a_1+b_2)^2-3a_1b_2)(cd-p)-c^2d(a_1+b_2)^2+2c^2da_1b_2+c^2p(a_1+b_2)=0$,
$(a_1+b_2){(a_1+b_1)^2(cd-p)-c^2d(a_1+b_1)+c^2p}-a_1b_1{3(a_1+b_1)(cd-p)-2c^2d}$
$2c^2d\not= 3(c-\frac{d}{2})(cd-p)$, поскольку $\frac{2c^2d}{cd-p}$ не может быть целым числом,
следовательно
5.1.2.$a_1b_2$ - рациональное число.
аналогично $a_2b_1$ - рациональное число.
но у нас $a_1a_2$ - рациональное число.
$a_1(b_2-a_2)$- рациональное число, $a_1(b_2-(\frac{c^2d}{cd-p}-a-a_1))$,

$a_1((b_2+a_1)+a-\frac{c^2d}{cd-p})$ - рациональное число, следовательно,
$a_1$ -рациональное число, следовательно, $a_2$, $b_1$, $b_2$ - рациональные числа.

6.1.1 $a_1+b_2=c-\frac{d}{2}$ (4.1.3)
$(a_1+b_2){(a_1+b_1)^2(cd-p)-c^2d(a_1+b_1)+c^2p}-a_1b_1{3(a_1+b_1)(cd-p)-2c^2d}$ (5.1.1),
$a_1+b_2=\frac{3c-a-b}{2}$, следовательно,

$\frac{\frac{3c-a-b}{2}(\frac{(3c-a-b)^2}{4}-3a_1b_2)(cd-p)}{c^2}$-целое число, следовательно
$a_1b_1$ должно иметь общий делитель с $a+b$, отличный от $2$. То есть, либо $a_1$, либо $b_2$ ( либо, и $a_1$, и $b_2$ должны иметь общий делитель с $a+b$, отличный от $2$.
Но это невозможно, поскольку
$a_1^3(cd-p)-a_1^2c^2d+a_1c^2p=a^3(cd-p)-a^2c^2d+ac^2p$,
$b_2^3(cd-p)-b_2^2c^2d+b_2c^2p=b^3(cd-p)-b^2c^2d+bc^2p$,

$a$, $b$ и $c$ - взаимно простые числа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства теоремы ферма 3
Сообщение16.07.2023, 20:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
4648
natalya_1 в сообщении #1601244 писал(а):
Выполним параллельный перенос и графика f(x) параллельно оси $OX$ $f_1(x)=f(x)-2f(k)$.

Да неужели??... После этого хочется спросить, а что Вы называете "параллельным переносом"?...

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства теоремы ферма 3
Сообщение16.07.2023, 20:16 


29/08/09
691
Geen в сообщении #1601252 писал(а):
natalya_1 в сообщении #1601244 писал(а):
Выполним параллельный перенос и графика f(x) параллельно оси $OX$ $f_1(x)=f(x)-2f(k)$.

Да неужели??... После этого хочется спросить, а что Вы называете "параллельным переносом"?...

График функции y=f(x)+B получается параллельным переносом графика функции y=f(x) в положительном направлении вдоль оси Оу на расстояние В, если В>0 и в отрицательном направлении вдоль оси Оу, если B<0.
График функции y=f(x+b) получается параллельным переносом графика функции y=f(x) в положительном направлении вдоль оси Оx на расстояние b, если b<0 и в отрицательном направлении вдоль оси Оx, если b>0.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 508 ]  На страницу Пред.  1 ... 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 ... 34  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
cron
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group