Наивные вопросы о вещественной прямой и функциях на ней

[KhAl]

Ищите контрпример (или нужно исправить опечатку).

Пределы странно расставленны. Если $f(x) \to 0$ при $x \to 0$, то предел $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{g(f(x))}{g(x)}$ зависит лишь от поведения $g$ в окрестности нуля, и причём здесь

Цитата:

$\lim\limits_{x \to +\infty} g(x) = +\infty$

которое на поведение в окрестности нуля вообще не влияет?

[svv]

Я сначала на автомате прочёл условие так:
Пусть $\lim\limits_{x \to +\infty} g(x) = +\infty$. Доказать или опровергнуть: конечный предел $\lim\limits_{x \to {\color{magenta}+\infty}} \dfrac{g(f(x))}{g(x)}$ существует, если и только если существует конечный предел $\lim\limits_{x \to {\color{magenta}+\infty}} \dfrac{f(x)}{x}$.

И написал:

Цитата:

Попробуйте опровергнуть часть утверждения «если», взяв в качестве $g$ экспоненту, и «только если», взяв в качестве $g$ логарифм.

Теперь заметил, какие там пределы, и думаю, как и KhAl, что они странные.

[Anton_Peplov]

Дааа, экую же глупость я сморозил Я и вообще-то туповат в анализе, но это уж совсем позор какой-то.
Я должен был сам увидеть, что

KhAl в сообщении #1601088 писал(а):

Если $f(x) \to 0$ при $x \to 0$, то предел $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{g(f(x))}{g(x)}$ зависит лишь от поведения $g$ в окрестности нуля

Контрпример к моей исходной формулировке (даже не буду объяснять, с какой стати она взбрела мне в голову): $f(x) = x^2, g(x) = x + \frac{1}{x}$. Контрпример к более разумной постановке подсказал уважаемый svv.
Извините и спасибо. Похоже, пора снова взяться за Демидовича, а то и "дважды два" забуду