Чисто разрывный процесс

[upjump]

Доброго времени суток! Помогите разобраться, пожалуйста. Читаю Гнеденко "Курс теории вероятности", §55 "Чисто разрывный процесс. Уравнения Колмогорова-Феллера". Ссылка на учебник: https://nmetau.edu.ua/file/gnedenko1988.pdf

В (1) он пишет следующее:

Цитата:

Мы будем говорить, что случайный процесс $\xi(t)$ чисто разрывен, если в течение любого промежутка времени $(t, t+\Delta t)$ величина $\xi(t)$ остается неизменной и равной $x$ с вероятностью $1-p(t, x) \Delta t+o(\Delta t)$ и лишь с вероятностью $p(t, x) \Delta t+o(\Delta t)$ может претерпеть изменение (при этом мы считаем, что вероятность более чем одного изменения $\xi(t)$ за промежуток времени $\Delta t$ есть $o(\Delta t)$. Естественно, что поскольку мы ограничиваемся рассмотрением процессов без последействия, функция распределения дальнейших после скачка изменений $\xi(t)$ уже не зависит от того, какое значение имело $\xi(t)$ в моменты, предшествующие скачку.

Обозначим через $P(t, x, y)$ условную функцию распределения $\xi(t)$ при условии, что в момент $t$ произошел скачок и непосредственно до скачка $\xi(t)$ было равно $x$ (т. е. $\xi(t-0)=x$).

Функция распределения $F(t, x ; \tau, y)$ легко может быть выражена через функции $p(t, x)$ и $P(t, x, y)$, а именно

$$ F(t, x ; \tau, y)=[1-p(t, x)(\tau-t)] E(x, y)+(\tau-t) p(t, x) P(t, x, y)+o(\tau-t) $$

, где

Цитата:

$E(x, y) = \lim _{\tau \rightarrow t+0} F(t, x ; \tau, y)=\lim _{t \rightarrow \tau-0} F(t, x ; \tau, y)=\left\{\begin{array}{lll}0 & \text { при } & y \leqslant x \\ 1 & \text { при } & y>x\end{array}\right.$

и (ссылаясь на §53)

Цитата:

$F(t, x ; \tau, y)$, равная вероятности того, что в момент $\tau$ случайная величина $\xi(\tau)$ примет значение, меньшее $y$, если известно, что в момент $t(t<\tau)$ имело место равенство $\xi(t)=x$.

То есть получается противоречие: c одной стороны (согласно определению $F(t, x ; \tau, y)$) $\xi(t)=x$ в момент времени $t$, а с другой (согласно определению $P(t, x, y)$) в тот же момент времени почти всегда $\xi(t)\ne x$, т.к. происходит скачок. Я сразу предположил, что тут опечатка и нужно слегка подвинуть $t$:

$$F(t, x ; \tau, y)=[1-p(t, x)(\tau-t)] E(x, y)+(\tau-t) p(t, x) P(t+0, x, y)+o(\tau-t).$$

Но изучив все возможные издания не увидел исправлений, а так же это выражение без правок используются далее в доказательстве уравнений Колмогорова-Феллера.

[Combat Zone]

Нет, все честно. В момент времени $t$ не обязан происходить скачок.
Никаких противоречий.

[alisa-lebovski]

На любом промежутке множество скачков меры ноль. Вероятность скачка в любой фиксированной точке равна нулю.

[upjump]

Опишу свой ход мысли для выражения

$$F(t, x ; \tau, y)=[1-p(t, x)(\tau-t)] E(x, y)+(\tau-t) p(t, x) P(t, x, y)+o(\tau-t).$$

Насколько я понимаю $F(t, x ; \tau, y)$ распадается на сумму вероятностей следующих событий:
1) $[1-p(t, x)(\tau-t)+o(\tau-t)] E(x, y)$ - веротяность, что за промежуток $(t, \tau)$ случайная величина $\xi$ не претерпела изменений и к моменту времени $\tau$ уже была в состоянии $x<y$.
2) $[(\tau-t)p(t, x)+o(\tau-t)]P(t, x, y)$ - вероятность, что за промежуток $(t, \tau)$ случайная величина $\xi$ претерпела лишь одно изменение и это изменение было (согласно определению $P(t, x, y)$) в момент $t$. Вот тут у меня возникает противоречие. И оно было бы разрешено, если бы вместо $P(t, x, y)$ было бы $P(t_{0}, x, y)$, $(t<t_{0}\leqslant \tau)$.
3) $o(\tau-t)$ - вероятность всех остальных событий в которых $\xi$ претерпевает более одного изменения за промежуток $(t, \tau)$.

Combat Zone, alisa-lebovski благодарю за отклик.

Combat Zone в сообщении #1600791 писал(а):

Нет, все честно. В момент времени $t$ не обязан происходить скачок.
Никаких противоречий.

Для 2) и согласно определению $P(t, x, y)$ в момент $t$ случайная величина $\xi$ приняла отличное от $x$ значение.

alisa-lebovski в сообщении #1600802 писал(а):

На любом промежутке множество скачков меры ноль. Вероятность скачка в любой фиксированной точке равна нулю.

Но ведь тут речь идет о вероятности изменения $\xi$ в промежуток $(t, \tau)$, а не в конкретной точке.

[svv]

upjump, надо цитатки оформлять правильно.

[upjump]

svv

(Оффтоп)

Вроде поправил.

[upjump]

Вроде дошло. Вся соль была в этом абзаце.

Цитата:

Кроме того, мы предположим, что $p(t, x)$ ограничена, обе функции $p(t, x)$ и $P(t, x, y)$ непрерывны относительно $t$ и $x$ (достаточно, на самом деле, предположить, что они измеримы по Борелю относительно $x$ ).

То есть, если зафиксировать $x$ и $y$, то $P(t,x,y)$ станет просто непрерывной функцией от $t$, а т.к. $(\tau - t)$ мало, то $P(t_{0},x,y) \to P(t,x,y)$, где $t<t_{0}\leqslant \tau$.
Combat Zone, alisa-lebovski я верно рассуждаю?