Спуск Ферма и кубические иррациональности

[KhAl]

Утундрий в сообщении #1600768 писал(а):

KhAl
Заметил, что одних только соотношений $(2')$ недостаточно для вывода $(4')$, которые справедливы только в силу того, что тройка $x,y,z$ имеет специфический вид.

С целыми числами у меня сейчас тоже возникли проблемы, как вывести $(4')$. Но если использовать вещественные: $(2')$ означает $z = \sqrt[3]{a^2} \cdot x$, $y = \sqrt[3]{a} \cdot x$, осталось эти выражения подставить в $\frac{z'}{x'}$, $\frac{y'}{x'}$. Сейчас подумаю, как целыми обойтись.

-- 12.07.2023, 21:39 --

А, можно так:

$$\frac{x'}{x} : \frac{y'}{y} : \frac{z'}{z} = \left( \frac yx - b \right) : \left( \frac zy - b \right) : \left( \frac {ax}z - b \right)$$

Остаётся выяснить, что $\frac yx = \frac zy = \frac {ax}z$, а это следует из $(\frac yx)^3 = (\frac zy)^3 = (\frac {ax}z)^3 = a$, которое следует из $(2')$. Теперь $x'/x = y'/y = z'/z$, и отсюда и из $(2')$ будет $(4')$

[Andrey A]

(на всякий случай)

Уравнение $xyz=a^3$ в рациональных числах имеет общее решение

$$x=ab,y=ac,z=a/bc.$$

Общее, поскольку для некоторого решения $x_0,y_0,z_0$ тройка $a=\sqrt[3]{x_0y_0z_0},\ b=\sqrt[3]{\dfrac{x_0^2}{y_0z_0}},\ c=\sqrt[3]{\dfrac{y_0^2}{x_0z_0}}$ определена однозначно (с точностью до порядка следования переменных).

Можно проще: $b=x_0/a,\ c=y_0/a,$ но без учета свойств. Для теоретических выкладок полезно и то и то.