Поиски смысла в бесконечнозначных логиках

[Утундрий]

Назовём высказыванием любую фразу естественного языка, допускающую оценку её истинности. Высказывания будем обозначать прописными буквами $A,\ B, \ C \ \dots$

Степень истинности высказывания будем характеризовать действительным числом $\tau_A \in [0,1]$, где $1$ и $0$ отождествляются с классическими true и false, соответственно.

Располагая неким набором высказываний, хотелось бы иметь возможность составлять из них новые. Для этого введём следующие аналоги классических операций над высказываниями (перечисление идёт в порядке убывания их приоритета):

Отрицание $\neg A$ - соответствует фразе "Не A".

$$\tau_{\neg A}:=1-\tau_A$$

Конъюнкция $A \wedge B $$ - соответствует фразе "A и B"

$$\tau_{ A \wedge B }:=\min \{ \tau_A, \tau_B \}$$

Дизъюнкция $A \vee B $ - соответствует фразе "A или B"

$$\tau_{ A \vee B }:=\max \{ \tau_A, \tau_B \}$$

Импликация $A \rightarrow B $ - соответствует фразе "Если A, то B"

(истинность импликации завезут позжее)

Ввести-то ввели, но сразу же обнаружились первые странности:

$$\tau_{ \neg A \wedge A }=\min \{ \tau_A, 1- \tau_A \} \leqslant 1/2$$

$$\tau_{ \neg A \vee A}=\max \{ \tau_A, 1-\tau_A \} \geqslant 1/2 $$

То есть, блондинка из анекдота имеет шанс динозавра на улице и встретить и (одновременно!) не встретить. Кроме того, каждый встреченный ею организм не всегда будет или динозавром или не динозавром.

Договоримся о таком сокращении

$$\tau_A=\tau_B \Leftrightarrow A=B$$

которое позволит компактно записывать всякие изящные формулы, вроде следующих:

$$\neg \neg A=A$$

$$A \wedge B=B \wedge A$$

$$A \vee B=B \vee A$$

$$\neg ( A \wedge B ) =\neg A \vee \neg B$$

$$\neg ( A \vee B ) =\neg A \wedge \neg B$$

Теперь, не мудрствуя лукаво, определим импликацию классической формулой

$$A \rightarrow B := \neg A \vee B$$

Из которой сразу же вытекут два следствия

$$\neg (A \rightarrow B)=\neg B \rightarrow \neg A$$

$$\tau_{A \rightarrow B}=\max \{1-\tau_A,\tau_B\}$$

Этим вся математика, в принципе, построена (понять бы ещё, чему реальному она соответствует).

Дальше можно двигаться в разных интересных направлениях. Обобщить modus ponens, например. Но я расскажу другую историю.

Режущая глаз симметрия наобум выбранных правил (от них требуется, по сути, лишь непрерывность и соответствие классике в предельных случаях) позволяет ввести понятие определённости высказывания:

$$\rho_A:=|2 \tau_A-1| \in [0,1]$$

А чем примечательна данная характеристика, вы (читатели), конечно же догадались и непременно в комментах своими догадками подéлитесь.

[Doctor Boom]

Нечеткая логика же

[slavav]

Решётка.

[Утундрий]

Doctor Boom
В том числе.

slavav
Гиперссылка.

[diletto]

(Оффтоп)

Утундрий в сообщении #1600656 писал(а):

Теперь, не мудрствуя лукаво, определим импликацию классической формулой

$$A \rightarrow B := \neg A \vee B$$

Прошу прощения, а вот эта классическая формула в каком-нибудь учебнике разжёвывается для обывателя на примерах? Типа "(люди смертны, следовательно, Сократ смертен) означает (люди бессмертны либо Сократ смертен)"?

[Утундрий]

diletto
Не встречал.

[Anton_Peplov]

(diletto)

whitefox в сообщении #1016387 писал(а):

Почитайте Е.К.Войшвилло Символическая логика.
Там во второй части (Релевантная логика) подробно обсуждаются "парадоксы" материальной импликации и соответствующего ей отношения логического следования.

Ну и на форуме вопрос обсуждался много раз, например: «Логика логической операции A=>B»
«Логическое следование»

[EminentVictorians]

diletto в сообщении #1600717 писал(а):

Типа "(люди смертны, следовательно, Сократ смертен) означает (люди бессмертны либо Сократ смертен)"?

Ну да, так и есть. Это эквивалентные формулировки.

Можно их просто на таблицах истинности сверить, но Вам этого, мне кажется, будет мало. Вопрос просто сведется к "почему таблица истинности импликации именно такая". Мне нравится объяснение Xaositect-а по этому поводу:

Xaositect в сообщении #1019468 писал(а):

Тут дело в том, что в естественном языке у связки "следовательно" есть немного различные смыслы, и они по разному отражаются и не отражаются в формальной логике. Давайте я попробую немного рассказать основные понятия следования в классической логике. Есть еще разные строгие импликации в разных модальных и других нестандартных логиках, я их не касаюсь.

В логике надо различать уровень синтаксиса (теория доказательств) и уровень семантики (теория моделей). На каждом из этих уровней есть свое понятие следствия, которое можно определить для любой системы формального вывода и любого определения интерпретации соответственно:
1. (Дедуктивное следствие). Формула $B$ следует из формул $A_1,\dots,A_n$, если существует формальный вывод формулы $B$ из формул $A_1,\dots,A_n$ в рассматриваемой формальной системе. Обозначение $A_1,\dots,A_n\vdash B$
2. (Логическое следствие) Формула $B$ следует из формул $A_1,\dots,A_n$, если в любой интерпретации $\mathcal{I}$, в которой истинны $A_1,\dots,A_n$, формула $B$ также будет истинной. Обозначение $A_1,\dots,A_n \vDash B$
Собственно, логика во многом изучает то, как эти понятия связаны с друг другом. Теоремы о корректности полноте утверждают, что для некоторой формальной системы и некоторого семейства интерпретаций они совпадают. Эти понятия, на мой взгляд, ближе соответствуют "следовательно" естественного языка, чем импликация, к которой мы сейчас перейдем.

Также в логике надо различать уровень теории и уровень метатеории. Оба понятия следствия из предыдущего абзаца относятся к метатеории - они говорят о формулах теории, но они не являются сами объектами теории. Импликация является именно тем, что выражает следствие внутри теории, так что для двух формул $A$ и $B$ импликация $A\to B$ есть формула, а не какой-то внешнее по отношению к теории суждение. Пусть мы рассматриваем дедуктивное следствие и хотим, чтобы импликация отражала его внутри теории. То есть мы хотим, чтобы $A\to B$ было теоремой тогда и только тогда, когда $A\vdash B$. Это "тогда и только тогда" раскладывается на два утверждения (метатеории). Во-первых, надо, чтобы из $A$ всегда выводилось $B$ в присутствии $A\to B$ (правило Modus Ponens). Во-вторых, надо, чтобы из любого вывода $B$ из $A$ мы могли получить вывод теоремы $A\to B$ (это называется теоремой о дедукции в формальных система гильбертова типа и правилом введения импликации в генценовских).

Теперь про таблицу истинности и собственно тему вопроса. Рассмотрим классическую интерпретацию, в которой формулы - это утверждения, которые могут быть истинными либо ложными. Мы хотим, чтобы интерпретация $A\to B$ отражала логическое следствие. Это значит, что она должна зависеть только от интерпретаций $A$ и $B$. В каждой интерпретации $A$ и $B$ могут быть истинными и ложными. При этом логическое $A\vDash B$ не выполняется тогда и только тогда, когда существует интерпретация, где $A$ истинно и $B$ ложно. В этом случае мы и должны положить $A\to B$ ложным. Остальные три случая могут встречаться в ситуации, когда $A\vDash B$, поэтому в этих случаях $A\to B$ истинно.

[пианист]

t-нормы/конормы - это не про то?
Вот, например, текст попался.
Согласно статье Ваша коньюнкция это t-норма Геделя. Правда, если импликацию взять, как там советуют, $z \to y = \max(z|x\star z \le y)$, то отрицание ($x \to 0$) получается "от другой стороны", где Лукасевича. Впрочем, я, скорее всего, просто наврал в расчетах.

[Утундрий]

Рад (вру, конечно, но так принято) возникшей активности, но позвольте слегка переориентировать вашу коллективную мысль. Схем подобного рода имеется в литературе бесчисленное (просто большое, но говорят почему-то так) количество. Плюс, редкие и какие-то несмелые попытки их классификации. Поэтому я выдернул из всего этого многообразия что-то одно и предлагаю сим и органичиться (если только не обнаружится внутреннее противоречие, коего пока что, вроде бы, не видно).

Меня главным образом интересует вопрос, куда можно повесить всю эту диалектику? (с)

[EUgeneUS]

Вы пытаетесь найти прикладной смысл этого всего:

Утундрий в сообщении #1600734 писал(а):

Меня главным образом интересует вопрос, куда можно повесить всю эту диалектику? (с)

Но во первых строках письма этот смысл и навязываете:

Утундрий в сообщении #1600656 писал(а):

Назовём высказыванием любую фразу естественного языка, допускающую оценку её истинности.

То есть прикладной смысл должен иметь отношение к фразам естественного языка и их истинности.
В этом случае, нужно всего лишь определить смысл истинности, тогда всё остальное построится и будет иметь смысл.

Ниже пара эксерезисов на эту тему.

-- 12.07.2023, 17:05 --

1. Определим истинность, как вероятность, что фраза верная, истинная.

Тогда
Отрицание:

$$\tau_{\neg A}:=1-\tau_A$$

Конъюнкция $A \wedge B $

$$\tau_{ A \wedge B }:= \tau_A \tau_B $$

Дизъюнкция $A \vee B $

$$\tau_{ A \vee B }:= \tau_A + \tau_B - \tau_A \tau_B$$

И всё будет работать. Но при двух условиях:
1. События, что фраза $A$ истинна, и, что фраза $B$ истинна - независимые.
2. Допустимы не все булевы функции, а только те, которые реализуются без гонок.

А значит выражения вида $ \neg A\wedge A$ запрещены.

-- 12.07.2023, 17:18 --

2. Предыдущая фраза удручает. Надо с этим что-то сделать.
Воспользуемся понятием условной вероятности.
Тогда

Отрицание: тоже самое.

Конъюнкция $A \wedge B $

$$\tau_{ A \wedge B }:= P(A \cap B) = P(A|B) P(B) $$

Дизъюнкция $A \vee B $ определяется из тождества $A \vee B = \neg{(\neg{A} \wedge \neg{B})}$

Это хороший план, надежный, как швейцарские часы.
Но у него есть один недостаток: для расчета конъюнкции и дизъюнкции мало знать значения собственно операндов, нужно знать их корреляцию.

-- 12.07.2023, 17:27 --

И наконец. Сильно сомневаюсь, что предложенные в стартовом посте метрики можно применить к фразам естественного языка хоть в каком-то прикладном смысле.
Вот почему:
1. Предположим, некий субъект произнес фразы $A$ и $B$.
2. И мы смогли оценить истинность каждой фразы. Чтобы мы не понимали под истинностью.
3. Оценка истинности для каждой фразы даёт нам некую дополнительную информацию.
4. А применением минимумов-максимумов мы часть информации теряем.

[Евгений Машеров]

diletto в сообщении #1600717 писал(а):

Прошу прощения, а вот эта классическая формула в каком-нибудь учебнике разжёвывается для обывателя на примерах? Типа "(люди смертны, следовательно, Сократ смертен) означает (люди бессмертны либо Сократ смертен)"?

Примерно так: за убийство рубят головы. Следовательно, либо перед нами не убийца, либо ему отрубили голову (кстати, "либо" тут не очень удачно, оно скорее воспринимается, как "исключающее ИЛИ", а тут не исключающее, латинское vel или И/ИЛИ; голову могут и за казнокрадство снять, или за госизмену).

[Утундрий]

Утундрий в сообщении #1600656 писал(а):

чем примечательна данная характеристика

Подсказка: что можно сделать имея всего одно высказывание?

[KhAl]

Утундрий
Не намекаете ли вы на $\rho_A = 2\tau_{A \to A} - 1$?

(Оффтоп)

признавайтесь, кого вы хотите этой темой решить, и с кем вам нужно разобраться?

[Утундрий]

В общем, я имел в виду следующее:

$$\rho_A=\rho_{\neg A}=\rho_{\neg A \wedge A}=\rho_{\neg A \vee A}$$

И определённость всех импликаций тоже равна этому значению.