Ортогональные многочлены на равномерной сетке

[AndreyIlinskiy]

Добрый день!
Известно много систем ортогональных многочленов. У некоторых в скалярном произведении есть весовая функция, у некоторых нет. Но это всё непрерывные функции и скалярное произведение вычисляется как интеграл. В тоже время синусы, косинусы ортогональны как в своем непрерывном виде, так и в дискретном (можно снять значения синуса, косинуса на любой равномерной сетке и полученные вектора будут также ортогональны). С многочленами (Лежандра) так не получается.

Вопрос: существуют ли ортогональные многочлены с единичной весовой функцией в скалярном произведении такие что их дискретизация также даст ортогональные вектора?

[Ende]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: темы, в которых нужно что-то объяснить или подсказать в пределах учебных курсов, создаются в этом разделе.

[B@R5uk]

Почему бы и нет? Суммирование — это функционал, точно так же как и интегрирование. Задайтесь сеткой, возьмите стандартный ряд степеней, начиная с нулевой, да примените к нему ортогонализацию Грама-Шмидта. Получите один из вариантов. Результат будет сильно зависеть от сетки, разумеется, так как скалярное произведение вектор-многочленов построенное на этом функционале будет зависеть от неё, но тем не менее, это будет то что вы заказывали.

[mihaild]

Одна и та же система тригонометрических функций ортогональна и в $L^2[-1,1]$, и в $L^2\{-1, -1 + 1/n, \ldots, 1 - 1/n, 1\}$. С многочленами хуже: $x^2 - 1/3$ ортогонально $1$ в $L^2[-1, 1]$, но не в $L^2\{-1, 0, 1\}$. Соответственно ненулевые многочлены нулевой и второй степени ортогональны и там и там быть не могут.

[svv]

Но можно взять неравномерную сетку. Поскольку многочлены Чебышёва $T_n(x)$ — это, фактически, тригонометрические функции, только на "деформированном" отрезке $[0;\pi]\to[-1;1]$, то они ортогональны и на $[-1;1]$, и на дискретной сетке.
Chebyshev polynomials / Orthogonality

[AndreyIlinskiy]

Всем большое спасибо, особенно B@R5uk. Понял)