Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия, Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
Добрый день! Известно много систем ортогональных многочленов. У некоторых в скалярном произведении есть весовая функция, у некоторых нет. Но это всё непрерывные функции и скалярное произведение вычисляется как интеграл. В тоже время синусы, косинусы ортогональны как в своем непрерывном виде, так и в дискретном (можно снять значения синуса, косинуса на любой равномерной сетке и полученные вектора будут также ортогональны). С многочленами (Лежандра) так не получается.
Вопрос: существуют ли ортогональные многочлены с единичной весовой функцией в скалярном произведении такие что их дискретизация также даст ортогональные вектора?
Ende
Posted automatically
11.07.2023, 17:12
i
Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)» Причина переноса: темы, в которых нужно что-то объяснить или подсказать в пределах учебных курсов, создаются в этом разделе.
B@R5uk
Re: Ортогональные многочлены на равномерной сетке
11.07.2023, 17:41
Почему бы и нет? Суммирование — это функционал, точно так же как и интегрирование. Задайтесь сеткой, возьмите стандартный ряд степеней, начиная с нулевой, да примените к нему ортогонализацию Грама-Шмидта. Получите один из вариантов. Результат будет сильно зависеть от сетки, разумеется, так как скалярное произведение вектор-многочленов построенное на этом функционале будет зависеть от неё, но тем не менее, это будет то что вы заказывали.
mihaild
Re: Ортогональные многочлены на равномерной сетке
11.07.2023, 19:03
Одна и та же система тригонометрических функций ортогональна и в , и в . С многочленами хуже: ортогонально в , но не в . Соответственно ненулевые многочлены нулевой и второй степени ортогональны и там и там быть не могут.
svv
Re: Ортогональные многочлены на равномерной сетке
12.07.2023, 01:32
Последний раз редактировалось svv 12.07.2023, 01:33, всего редактировалось 1 раз.
Но можно взять неравномерную сетку. Поскольку многочлены Чебышёва — это, фактически, тригонометрические функции, только на "деформированном" отрезке , то они ортогональны и на , и на дискретной сетке. Chebyshev polynomials / Orthogonality