Интеграл Лебега от положительной функции

[artempalkin]

Для интеграла Римана верно следующее свойство, если $f(x)$ интегрируема по Риману на $[a,b]$ и на нём $f(x)>0$ в каждой точке, то $\int\limits_a^bf(x)dx>0$. На самом деле относительно нетривиально доказывается, я лично доказать не смог, пришлось лезть в учебник.

Вопрос: а верно ли это утверждение для интеграла Лебега? в доказательстве существенно используется понятие интегральных сумм и проч...

[mihaild]

Для интеграла Лебега оно доказывается гораздо проще: $\{x | f(x) > 0\} = \cup_n \{x | f(x) > 1/n\}$. И получается даже более сильное утверждение: если интеграл от неотрицательной функции нулевой, то функция нулевая почти всюду.

[artempalkin]

mihaild в сообщении #1599423 писал(а):

Для интеграла Лебега оно доказывается гораздо проще: $\{x | f(x) > 0\} = \cup_n \{x | f(x) > 1/n\}$.

Ааа, ясно, то есть если исходная мера положительна, то хотя бы одна мера справа должна быть положительна (а точнее, начиная с какой-то). Тогда интеграл не меньше $\frac{\mu}N$.

mihaild в сообщении #1599423 писал(а):

И получается даже более сильное утверждение: если интеграл от неотрицательной функции нулевой, то функция нулевая почти всюду.

Да, а ведь, между прочим, это утверждение необходимо для всяких суммируемых пространств - можно составить класс эквивалентности для нулевой функции и проч.
Спасибо!

[Padawan]

artempalkin в сообщении #1599418 писал(а):

Для интеграла Римана верно следующее свойство, если $f(x)$ интегрируема по Риману на $[a,b]$ и на нём $f(x)>0$ в каждой точке, то $\int\limits_a^bf(x)dx>0$. На самом деле относительно нетривиально доказывается, я лично доказать не смог, пришлось лезть в учебник.

А какое там док-во? Я бы сначала доказал, что у интегрируемой по Риману функции есть точка непрерывности.

[mihaild]

Я знаю доказательство через теорему Бэра: у замыкания одного из $\{x | f(x) > 1 / n\}$ есть внутренняя точка, берем интервал, целиком принадлежащий замыканию, и по нему верхняя сумма Дарбу хотя бы $1/n$ умножить на длину интервала.