2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Интеграл Лебега от положительной функции
Сообщение30.06.2023, 16:34 
Для интеграла Римана верно следующее свойство, если $f(x)$ интегрируема по Риману на $[a,b]$ и на нём $f(x)>0$ в каждой точке, то $\int\limits_a^bf(x)dx>0$. На самом деле относительно нетривиально доказывается, я лично доказать не смог, пришлось лезть в учебник.

Вопрос: а верно ли это утверждение для интеграла Лебега? в доказательстве существенно используется понятие интегральных сумм и проч...

 
 
 
 Re: Интеграл Лебега от положительной функции
Сообщение30.06.2023, 16:50 
Аватара пользователя
Для интеграла Лебега оно доказывается гораздо проще: $\{x | f(x) > 0\} = \cup_n \{x | f(x) > 1/n\}$. И получается даже более сильное утверждение: если интеграл от неотрицательной функции нулевой, то функция нулевая почти всюду.

 
 
 
 Re: Интеграл Лебега от положительной функции
Сообщение30.06.2023, 20:21 
mihaild в сообщении #1599423 писал(а):
Для интеграла Лебега оно доказывается гораздо проще: $\{x | f(x) > 0\} = \cup_n \{x | f(x) > 1/n\}$.

Ааа, ясно, то есть если исходная мера положительна, то хотя бы одна мера справа должна быть положительна (а точнее, начиная с какой-то). Тогда интеграл не меньше $\frac{\mu}N$.
mihaild в сообщении #1599423 писал(а):
И получается даже более сильное утверждение: если интеграл от неотрицательной функции нулевой, то функция нулевая почти всюду.

Да, а ведь, между прочим, это утверждение необходимо для всяких суммируемых пространств - можно составить класс эквивалентности для нулевой функции и проч.
Спасибо!

 
 
 
 Re: Интеграл Лебега от положительной функции
Сообщение04.07.2023, 07:13 
artempalkin в сообщении #1599418 писал(а):
Для интеграла Римана верно следующее свойство, если $f(x)$ интегрируема по Риману на $[a,b]$ и на нём $f(x)>0$ в каждой точке, то $\int\limits_a^bf(x)dx>0$. На самом деле относительно нетривиально доказывается, я лично доказать не смог, пришлось лезть в учебник.

А какое там док-во? Я бы сначала доказал, что у интегрируемой по Риману функции есть точка непрерывности.

 
 
 
 Re: Интеграл Лебега от положительной функции
Сообщение04.07.2023, 11:28 
Аватара пользователя
Я знаю доказательство через теорему Бэра: у замыкания одного из $\{x | f(x) > 1 / n\}$ есть внутренняя точка, берем интервал, целиком принадлежащий замыканию, и по нему верхняя сумма Дарбу хотя бы $1/n$ умножить на длину интервала.

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group