Свойство функции одной переменной

[Leeb]

Сама задача наверняка классическая, и вообще вряд ли сложная, но ответ на нее довольно неожиданный.

Будем рассматривать непрерывные функции $f \colon [0,1]\to \mathbb{R}$, удовлетворяющие условию $f(0) = f(1)$. Для каких чисел $0<h<1$ можно гарантировать, что для любой такой функции $f$ найдется точка $a\in [0,1-h]$, такая, что выполнено условие $f(a)=f(a+h)$?

[TOTAL]

Что-то неожиданный ответ не получается: $h \le 1/2$

[Leeb]

TOTAL в сообщении #1599659 писал(а):

Что-то неожиданный ответ не получается: $h \le 1/2$

Если Вы имеете в виду, что ответ - это любое число от 0 до $1/2$, то это неверный ответ.

[TOTAL]

Вторая попытка: $h=1/n, n > 1$

[Leeb]

TOTAL в сообщении #1599666 писал(а):

Вторая попытка: $h=1/n, n > 1$

(Оффтоп)

Да, это правильно, если $n$ натуральное. Решение в общем-то, несложное, но что остальные не подходят - на первый взгляд странно, но таки факт.

[TOTAL]

Вот при нецелом $1/h$

[mathematician123]

Для $h = \frac{1}{n}$ можно так доказать.

Рассмотрим функцию $g(x) = f(x + \frac{1}{n}) - f(x)$. Заметим, что $\sum\limits_{i = 0}^{n - 1}g(\frac{i}{n}) = 0$. Значит, либо $g(\frac{i}{n}) = 0$ для некоторого $i$, либо для некоторых $i_1 \ne i_2$ числа $g(\frac{i_1}{n})$ и $g(\frac{i_2}{n})$ имеют разные знаки. Но тогда из непрерывности также получаем, что найдётся точка $y$, такая что $g(y) = 0$.

[Утундрий]

Занятное квантование на ровном месте.