Размерность лин. оболочки

[Xo4y3HaTb]

Вроде домедитировал!) Итак, $\langle V_{ij}\rangle = \langle e_n-e_1, ..., e_n-e_{n-1}\rangle$. Осталось просто доказать, что вектора ЛН. Выпишу ЛК и приравняю к нулю $\lambda_1(e_n-e_1)+...+\lambda_{n-1}(e_n-e_{n-1})$ = 0 или $(\lambda_1+...\lambda_{n-1})e_n-\lambda_1e_1-...-\lambda_{n-1}e_{n-1}$=0. От противного, пусть эта ЛК ЛЗ, тогда найдётся $\lambda_i\ne0$ и уравнение примет вид: $\lambda_ie_n=\lambda_ie_i$. Получили, что базисный вектор выражается через другие, что невозможно, следовательно вектора ЛН, а значит базис.

[Xo4y3HaTb]

$x+y=\sup\limits_{x_r\leqslant x,y_r\leqslant y, x_r,y_r\in\mathbb{Q}}\{x_r+y_r\}$. И всё таки, почему определяют именно нестрого границы ? В этом есть смысл или просто так договорились?

Geen в сообщении #1599394 писал(а):

Это неверно.

Помогите, пожалуйста, придумать такие числа $a$ и $b$, чтоб это было неверно. Брал и нули, и отрицательные, и положительные, всё время равенство получается в примерах.

[svv]

Geen в сообщении #1599394 писал(а):

Xo4y3HaTb в сообщении #1599368 писал(а):

А наибольшие $x_r$ и $y_r$ это их супремумы.

Это неверно.

Имеется в виду, что для данного $x$ может не существовать наибольшего $x_r\in\mathbb Q$, такого, что $x_r\leqslant x$. Так происходит, если само $x\notin\mathbb Q$.

Например, пусть $x=\pi$. Поскольку $x\notin\mathbb Q$, а $x_r\in\mathbb Q$ по условию, равенства между ними быть не может. И тогда, какое бы близкое к $x$ (и меньшее его) $x_r$ Вы ни взяли, всегда найдётся такое $x_r'$, что
$x_r<x_r'<x$,
то есть ещё большее. Поэтому максимального не существует. Именно из-за таких ситуаций и придумали понятия супремум, инфимум, помимо максимум, минимум.

Итак, у множества рациональных чисел, меньших $\pi$, максимума не существует, а супремум (который не обязан сам принадлежать множеству) — существует, это $\pi$.

[Xo4y3HaTb]

svv в сообщении #1599541 писал(а):

Имеется в виду, что для данного $x$ может не существовать наибольшего $x_r\in\mathbb Q$, такого, что $x_r\leqslant x$. Так происходит, если само $x\notin\mathbb Q$.

Например, пусть $x=\pi$. Поскольку $x\notin\mathbb Q$, а $x_r\in\mathbb Q$ по условию, равенства между ними быть не может. И тогда, какое бы близкое к $x$ (и меньшее его) $x_r$ Вы ни взяли, всегда найдётся такое $x_r'$, что
$x_r<x_r'<x$,
то есть ещё большее. Поэтому максимального не существует. Именно из-за таких ситуаций и придумали понятия супремум, инфимум, помимо максимум, минимум.

Итак, у множества $\{x_r\in\mathbb Q | x_r<\pi\}$ максимума не существует, а супремум (который не обязан сам принадлежать множеству) — существует, это $\pi$.

Да, это я понимаю, но у меня ведь в неравенстве именно супремумы. Вот неравенство: $\sup\limits_{x_r\leqslant a,y_r\leqslant b}\{x_r+y_r\}\leqslant \sup\limits_{x_r\leqslant a}\{x_r\}+\sup\limits_{y_r\leqslant b}\{y_r\}$. Пусть $a=\sqrt{2},b=3$. Супремум в левой части будет же равен $\sqrt{2}+3$? Можно даже строго доказать. (если не строго, то 1 условие: $\forall x_r\leqslant\sqrt{2}, y_r\leqslant3,x,y\in\mathbb{Q}: x_r+y_r\leqslant\sqrt{2}+3$
2 условие: $\forall x_i,y_i\in\mathbb{Q}, x_i+y_i\leqslant\sqrt{2}+3, \exists x_r,y_r: x_r+y_r> x_i+y_i$. Оба условия выполнены следовательно $\sqrt{2}+3$ т.в.гр. в левой части неравенства, такой же ответ в правой части неравенства. Опять получил равенство. А хочется построить пример, когда выполнено строгое неравенство.

[svv]

Так Geen возражал именно против утверждения

Xo4y3HaTb в сообщении #1599368 писал(а):

наибольшие $x_r$ и $y_r$ это их супремумы

Вы теперь видите, что оно неверно? Супремум множества, все элементы которого рациональны, сам может и не быть рациональным. А максимум обязан принадлежать множеству.

[Xo4y3HaTb]

svv в сообщении #1599551 писал(а):

Вы теперь видите, что это неверно? Супремум множества, состоящего из рациональных чисел, может и не быть рациональным. А максимум обязан принадлежать множеству.

Да ошибку понял, я понимаю разницу между max и sup, но выразился неверно.

[svv]

Хорошо.
Теперь — почему там нестрогий знак $\leqslant$. Допустим, само $x$ рационально. Тогда не существует никаких причин запрещать брать $x_r=x$.

Разумеется, можно потребовать, чтобы $x_r<x$, и результат будет тем же, но это равносильно запрету брать $x_r=x$ при $x\in\mathbb Q$, а этот запрет — излишний.

[Xo4y3HaTb]

svv в сообщении #1599553 писал(а):

Разумеется, можно потребовать, чтобы $x_r<x$, и результат будет тем же, но это равносильно запрету брать $x_r=x$ при $x\in\mathbb Q$, а этот запрет — излишний.

Понятно. Думал мало ли есть редкий случай, когда для суммы важно, чтоб был именно нестрогий знак $\leqslant$, но такого нет. И всё же остаётся один открытый вопрос. Можно ли привести пример чисел $a$ и $b$ таких, чтобы неравенство $\sup\limits_{x_r\leqslant a,y_r\leqslant b}\{x_r+y_r\}\leqslant \sup\limits_{x_r\leqslant a}\{x_r\}+\sup\limits_{y_r\leqslant b}\{y_r\}$ имело строгий знак $<$. Мне видится, что нельзя.

[svv]

Wiki / Infimum and supremum / Infima and suprema of real numbers / Arithmetic operations on sets / Sum of sets

[Xo4y3HaTb]

svv
Понял! Спасибо! Значит в лекции, которую смотрел была оговорка, т.к. преподаватель сказал: чтобы доказать утверждение N, докажите сначала, что супремум суммы 2 слагаемых не превосходит суммы их супремумов. Хотя если он равен, то он и не превосходит. Значит оговорки нет)
Всем спасибо за помощь!