Размерность лин. оболочки

[Xo4y3HaTb]

Накопилось несколько вопросов. Буду рад помощи по любому из них. Алгебра. Задача: Пусть $V_{ij}=e_i-e_j$, где $e_i,e_j$ - векторы стандартного базиса. Найдите $dim=\langle V_{ij}, i,j=1,...,n \rangle$. Решал в лоб для $\mathbb{R}^2$, $\mathbb{R}^3$. Получалось на 1 размерность меньше. Полагаю, что для случая $\mathbb{R}^n$ мой ответ будет n-1, но интуитивно не ясно каким образом выпадает 1 вектор базиса и как доказать для n.
Матан. 1) Определение суммы двух действительных чисел.$x+y=\sup\limits_{x_r\leqslant x,y_r\leqslant y, x_r,y_r\in\mathbb{Q}}\{x_r+y_r\}$. Почему используется именно нестрогое неравенство под супремумом? Если использовать строгое, то разницы не будет? 2) Никак не получается придумать пример, чтоб выполнялось строгое неравенство $\sup\limits_{x_r\leqslant a,y_r\leqslant b}\{x_r+y_r\}\leqslant \sup\limits_{x_r\leqslant a}\{x_r\}+\sup\limits_{y_r\leqslant b}\{y_r\}$. В левой части неравенства в фигурных скобках это множество всевозможных сумм $x_r, y_r$. Супремум этого множества будет равен сумме наибольших $x_r$ и $y_r$. А наибольшие $x_r$ и $y_r$ это их супремумы. $\Rightarrow$ получаю равенство.
Ан. геометрия. Пусть прямая $l$ задана нормальным уравнением $(\vec{r},\vec{n})=D$, $\vec{i},\vec{j}$ - ортонормированный базис. Также для определённости пусть $M_0\{x_0;y_0\}$- опорная точка, $\vec{n}\{A;B\}$. Тогда $D=(\vec{r_0},\vec{n})=\operatorname{const}$. Легко доказать, что для любой точки $M_p\{x_p;y_p\}$ на прямой $l$ верно равенство $(\vec{r_p},\vec{n})=D$. Док-во: $\vec{M_oM_p}=\vec{r_p}-\vec{r_0}$, $(\vec{M_oM_p},\vec{n})=0$, $(\vec{r_p}-\vec{r_0},\vec{n})=0$, $(\vec{r_p},\vec{n})-(\vec{r_0},\vec{n})=0$ $\Rightarrow$ $(\vec{r_p},\vec{n})=(\vec{r_0},\vec{n})=D$. Но у меня возникает внутреннее противоречие. Как загоняя в скалярное произведение радиус-вектора с РАЗНЫМИ координатами (концы которых лежат на прямой $l$) при фиксированных координатах вектора $\vec{n}$ мы всегда получаем одно и тоже число $D$? Теперь буду по-другому рассуждать. Пусть точки $M_1\{x_1;y_1\}$, $M_2\{x_2;y_2\}$, $M_3\{x_3;y_3\}$, $M_4\{x_4;y_4\}$ лежат на прямой $l$. Тогда из $(\vec{r_1},\vec{n})=(\vec{r_2},\vec{n})=(\vec{r_3},\vec{n})=(\vec{r_4},\vec{n})=D$, получаем систему с 4 уравнениями: $Ax_1+By_1=D$, $Ax_2+By_2=D$, $Ax_3+By_3=D$, $Ax_4+By_4=D$ (Вообще, тут может быть n уравнений). Не могу понять имеет ли такая система решение? Если $A$ и $B$ считать неизвестными, тогда координаты векторов будут коэффициентами, тогда все строки ЛН, т.е. ранг равен кол-ву уравнений т.е. 4 (или n) а неизвестных 2 $A$ и $B$. По теореме Кронекера-Капелли СЛУ не определена. По всей видимости, меня занесло куда-то не туда.

[mihaild]

Предлагаю создать по теме для каждого вопроса, иначе путаница будет.
По первому. Докажите, что линейная оболочка векторов $(x_1, \ldots, x_k)$ и $(x_1 + x_2, \ldots, x_k)$ одинакова.
Пользуясь этим, докажите, что линейная оболочка $V_{ij}$ такая же, как и у набора $(e_1 - e_n, e_2 - e_n, \ldots, e_n - e_n)$.

[EminentVictorians]

Можно совсем "в лоб".

От добавления/удаления нулевого вектора или противоположных векторов размерность линейной оболочки не меняется, поэтому $\dim \langle V_{ij}, i,j=1,...,n \rangle = \dim \langle V_{ij}, i,j=1,...,n; i>j \rangle$. Если добавить вектор $e_1$ в $\langle V_{ij}, i,j=1,...,n; i>j \rangle$, то ее размерность станет равна $n$ (т.к. любой вектор в ней линейно выражается через базисные, а любой базисный линейно выражается через ее вектора), поэтому $\dim \langle V_{ij}, i,j=1,...,n; i>j \rangle$ равна либо $n-1$, либо $n$. Посмотрим, можно ли выразить вектор $e_1$ через вектора этой линейной оболочки. Допустим, что мы нашли такое выражение. Раскроем в нем скобки, приведем подобные слагаемые. Получим нетривиальную линейную комбинацию базисных векторов такую, что в ней найдется базисный вектор, отличный от $e_1$, входящий в нее с ненулевым коэффициентом. Но $e_1 = 1 e_1 + ... + 0e_n$. Таким образом, мы получили 2 разных выражения вектора $e_1$ через базисные вектора $e_1, ... , e_n$, а такого быть не может. Получается, что $e_1$ не выражается через $ V_{ij}, i,j=1,...,n; i>j $, а значит ее размерность (как и размерность первоначальной лин. оболочки) равна $n-1$.

[mihaild]

EminentVictorians в сообщении #1599389 писал(а):

в ней найдется базисный вектор, отличный от $e_1$, входящий в нее с ненулевым коэффициентом

Это, конечно, правда, но надо доказывать.

[Geen]

Xo4y3HaTb в сообщении #1599368 писал(а):

А наибольшие $x_r$ и $y_r$ это их супремумы.

Это неверно.

[EminentVictorians]

mihaild в сообщении #1599392 писал(а):

Это, конечно, правда, но надо доказывать.

Я подумал, и похоже можно немного получше сделать. Перед тем, как выражать $e_1$ через $V_{ij}, i,j=1,...,n; i>j$, можно эту систему еще больше "прорядить" (в каждом "блоке" $e_j - e_{j-1}, ..., e_j - e_1 (n \leqslant j \leqslant 2)$ убрать все разности, кроме первой). Почему от этого линейная оболочка не пострадает - очевидно. И вот теперь через эту новую систему выражаем $e_1$ и продолжаем все дальнейшие рассуждения точно так же (теперь-то уж точно можно сказать, что в получившейся линейной комбинации вектор, отличный от $e_1$, и с ненулевым коэффициентом - будет).

[iifat]

Xo4y3HaTb в сообщении #1599368 писал(а):

внутреннее противоречие. Как загоняя в скалярное произведение радиус-вектора с РАЗНЫМИ координатами (концы которых лежат на прямой $l$) при фиксированных координатах вектора $\vec{n}$ мы всегда получаем одно и тоже число $D$?

Дык странный же вопрос. Вы же ж строчкой выше доказали — как.

Xo4y3HaTb в сообщении #1599368 писал(а):

тогда все строки ЛН, т.е. ранг равен кол-ву уравнений т.е. 4 (или n) а неизвестных 2

Поясните, пожалуйста, как у вас ранг матрицы о двух столбцах растёт неограниченно? Может, в исходных посылках чего не так?

[Xo4y3HaTb]

mihaild в сообщении #1599369 писал(а):

Предлагаю создать по теме для каждого вопроса, иначе путаница будет.

Не хотел засорять ветку своими вопросами.

mihaild в сообщении #1599369 писал(а):

Докажите, что линейная оболочка векторов $(x_1, \ldots, x_k)$ и $(x_1 + x_2, \ldots, x_k)$ одинакова.

(пустой квадратик) Пусть $A=(x_1, \ldots, x_k)$, $B=(x_1 + x_2, \ldots, x_k)$, $\dim\langle A \rangle=m$, $V_1,...,V_m$ - базис $A$, $x_1=\lambda_1V_1+...+\lambda_mV_m$, $x_2=\mu_1V_1+...+\mu_mV_m$. $x_1+x_2=(\lambda_1+\mu_1)V_1+...+(\lambda_m+\mu_m)V_m$. Получили, что первый вектор в мн-ве $B$ линейно выражается через $V_1,...,V_m$, значит и линейные комбинации векторов мн-ва $B$ выражаются через $V_1,...,V_m$, следовательно данные вектора - базис $B$. Т.е. $\langle A \rangle=\langle B \rangle$ (заштрихованный квадратик).

mihaild в сообщении #1599369 писал(а):

Пользуясь этим, докажите, что линейная оболочка $V_{ij}$ такая же, как и у набора $(e_1 - e_n, e_2 - e_n, \ldots, e_n - e_n)$.

EminentVictorians в сообщении #1599396 писал(а):

можно эту систему еще больше "прорядить" (в каждом "блоке" $e_j - e_{j-1}, ..., e_j - e_1 (n \leqslant j \leqslant 2)$ .

Получилось привести $V_{ij}$ к виду $(e_n - e_1, e_n - e_2, \ldots, e_n - e_{n-1})$. Дальше трудности с пониманием вот этого:

EminentVictorians в сообщении #1599389 писал(а):

Если добавить вектор $e_n$ в $\langle V_{ij}, i,j=1,...,n; i>j \rangle$, то ее размерность станет равна $n$ (т.к. любой вектор в ней линейно выражается через базисные, а любой базисный линейно выражается через ее вектора)

Не пойму почему размерность получается $n$. И почему до добавления $e_n$ она не была равна $n$. Ведь в лин. оболочке $\langle V_{ij} \rangle=\langle e_n - e_1, e_n - e_2, \ldots, e_n - e_{n-1} \rangle$ и без добавления $e_n$ присутствуют все вектора базиса и каждый вектор из неё выражается ЛК. Т.е. в чём разница между $(e_n - e_1, e_n - e_2, \ldots, e_n - e_{n-1})$ и $(e_n, e_n - e_1, e_n - e_2, \ldots, e_n - e_{n-1})$?

[svv]

По первой задаче.
Пусть $u_k=e_k-e_n, \quad k=1\;...\;n\!\!-\!\!1$.
1) Система $(u_k)$ линейно независима: если бы некоторый $u_i$ линейно выражался через остальные $u_k$, то и $e_i$ линейно выражался бы через остальные $e_k$.
2) Любой $V_{ij}$ является линейной комбинацией $(u_k)$:
$\begin{array}{l}V_{ij}=u_i-u_j\\V_{in}=-V_{ni}=u_i\\V_{nn}=0\end{array},\quad\text{где }i,j\neq n$
Следовательно, $(u_k)$ — базис $\langle V_{ij}, \; i,j=1...n\rangle$

[Xo4y3HaTb]

svv
Вот это элегантно!

[EminentVictorians]

Xo4y3HaTb в сообщении #1599461 писал(а):

Получилось привести $V_{ij}$ к виду $(e_n - e_1, e_n - e_2, \ldots, e_n - e_{n-1})$.

Не к такому виду,а вот к такому: $(e_n - e_{n-1}, e_{n-1} - e_{n-2}, ... , e_2 - e_1)$

Xo4y3HaTb в сообщении #1599461 писал(а):

И почему до добавления $e_n$ она не была равна $n$.

У Вас как-то не так процитировалось. У меня же там речь шла про $e_1$, а не про $e_n$.

По поводу до/после. Мы взяли вектор $e_1$, добавили его в систему и получили новую систему, линейная оболочка которой имеет размерность $n$. До добавления ее размерность могла быть либо $n$, либо $n-1$.

[svv]

Xo4y3HaTb в сообщении #1599368 писал(а):

Но у меня возникает внутреннее противоречие. Как загоняя в скалярное произведение радиус-вектора с РАЗНЫМИ координатами (концы которых лежат на прямой $l$) при фиксированных координатах вектора $\vec{n}$ мы всегда получаем одно и тоже число $D$?

Зафиксируем вектор $\mathbf n$ и с его помощью определим такую функцию радиус-вектора (т.е. точки плоскости):
$f(\mathbf r)=(\mathbf r,\mathbf n)$
Эта функция берёт вектор $\mathbf r$ из двумерного пространства, а возвращает вещественное число. Наверное, при таком "раскладе" многие различные радиус-векторы могут давать одно и то же число. Поинтересуемся, а как выглядит множество векторов, функция $f$ от которых даёт конкретное число $D$? Оказывается, все они лежат на прямой: если координаты $\mathbf r$ равны $x,y$ (переменные), а координаты $\mathbf n$ равны $n_x, n_y$ (фиксированные числа), то
$f(\mathbf r)=(\mathbf r,\mathbf n)=xn_x+yn_y=D$
— уравнение прямой.
Теперь нет ничего удивительного, что для всех точек $\mathbf r$ этой прямой будет $f(\mathbf r)=D$.

[Xo4y3HaTb]

svv
Спасибо! Наглядно! Вот как раз разобрался в этом вопросе построив "живой" пример. Насчёт ранга чепуху написал.

[Xo4y3HaTb]

EminentVictorians в сообщении #1599475 писал(а):

У меня же там речь шла про $e_1$, а не про $e_n$.

Да, я изменил индексы, думал не принципиально. Вот как у меня получается:
Выпишу векторы $V_{ij}$ в матрицу

$$$\begin{pmatrix} e_1-e_1& ...& e_1-e_n \\ e_2-e_1 & ...& e_2-e_n\\ ...& ...& ...& \\ e_n-e_1& ...& e_n-e_n \end{pmatrix}$$$

Убираю все векторы на диагонали и те, что выше неё. Далее, используя св-во, что линейная оболочка векторов $(x_1, \ldots, x_k)$ и $(x_1 + x_2, \ldots, x_k)$ одинакова, применяю алгоритм (в каждом "блоке" $e_j - e_{j-1}, ..., e_j - e_1 (2 \leqslant j \leqslant n)$ убираю все разности, кроме последней) и получаю последнюю строку. Т.е. $\langle V_{ij}\rangle = \langle e_n-e_1, ..., e_n-e_{n-1}\rangle$. Добавлю $e_1$, получу $ \langle e_1, e_n-e_1, ..., e_n-e_{n-1}\rangle$ или $\langle e_n, e_n-e_1, ..., e_n-e_{n-1}\rangle$ (прибавив к 1му вектору 2й). Далее сложность вызывает вот это рассуждение

EminentVictorians в сообщении #1599389 писал(а):

Если добавить вектор $e_1$ в $\langle V_{ij}, i,j=1,...,n; i>j \rangle$, то ее размерность станет равна $n$ (т.к. любой вектор в ней линейно выражается через базисные, а любой базисный линейно выражается через ее вектора)

[EminentVictorians]

Xo4y3HaTb как-то у Вас все слишком сложно (и вроде бы неправильно: я добавлял $e_1$ в другую систему).

Я не знаю что еще сказать. Я старался написать более-менее прозрачно и читабельно, так что Вам остается только помедитировать подольше ну или забить на мой способ))) - тоже вариант