Дифференциальное уравнение первого порядка

[intex2dx]

Добрый день. Есть вот такое дифференциальное уравнение:

$$(x^2 - y^4)y' - xy = 0 $$

Требуется решить его, используя подстановку вида $x^{\alpha} y^{\beta} = u$.
Я могу решить это уравнение, используя сведение к однородному заменой $y = \sqrt{z}$, но не знаю, как решить именно указанным способом. Есть ли тут какой-то алгоритм, как угадать $\alpha$ и $\beta$? Пробовал подставлять $y = u^{1/\beta} x^{\alpha/\beta}$, но не совсем ясно, что дальше требовать от $\alpha$ и $\beta$, да и вычисления не очень приятные.
Может подстановка станет понятна из ответа, но тут тоже много вариантов возникает:
$x^2 = Cy^2 - y^4$

[svv]

Не знаю, как ответить именно на Ваш запрос. Может, моё решение наведёт на какие-то мысли.

Очевидно, $y\equiv 0$ является решением (не упомянутым в ответе?). Теперь рассмотрим случай, когда $y$ не равно нулю тождественно. Перепишем уравнение в виде
$xy-x^2y'+y^4y'=0$
Попробуем из первых двух слагаемых сформировать что-то вроде $u'v-uv'$, а потом и $\frac{u'v-uv'}{v^2}$, т.е. полную производную. При этом разрешается домножать/делить всё уравнение на степени $y$, но не $x$, чтобы не испортить хорошее третье слагаемое. Сначала умножим всё на $2y$:
$2xy^2-x^2\;2yy'+2y^5y'=0$, или
$(x^2)'y^2-x^2(y^2)'+2y^5y'=0$
Получается! Теперь видно, что надо всё поделить на $(y^2)^2=y^4$:
$\frac{(x^2)'y^2-x^2(y^2)'}{y^4}+2yy'=0$,
или
$\left(\frac{x^2}{y^2}\right)'+(y^2)'=\left(\frac{x^2+y^4}{y^2}\right)'=0$
Т.е. уравнение решается быстрее, чем успеваешь применить задуманный автором способ.

[svv]

intex2dx

svv в сообщении #1598944 писал(а):

$\left(\frac{x^2}{y^2}\right)'+(y^2)'=\left(\frac{x^2+y^4}{y^2}\right)'=0$

Отсюда видно, что надо взять $xy^{-1}=u$ (дальше используем только эту подстановку, а предыдущее решение "забываем" и никому не показываем). Тогда
$x=uy$
$dx=u\,dy+y\,du$
Подставим это в исходное уравнение, записанное в дифференциалах:
$(x^2 - y^4)dy - xy\,dx = 0$
Получим
$(u^2y^2-y^4)dy - uy^2(u\,dy+y\,du)=0,$
или, после сокращений,
$y\,dy + u\,du=0$,
т.е.
$y^2+u^2=C$

[intex2dx]

svv в сообщении #1598944 писал(а):

Очевидно, $y\equiv 0$ является решением (не упомянутым в ответе?).

Да, в данном задачнике особые решения не указывают, если они, например, получаются при $C = +\infty$

Большое спасибо за помощь, действительно, судя по Вашему первому комментарию, стоило взять $xy^{-1} = u$. Однако, как Вы заметили, проще и быстрее решить задачу другими способами. Я, как уже говорил, такие задачи обычно решаю сведением к однородному:
Положим

$$x = z, y = z^{\lambda}$$

и подберём $\lambda$ с учётом равенства степеней во всех выражениях с $z$. Тогда получим $\lambda = -1/2$, поэтому стоит сделать замену $y = \pm \sqrt{z}$, и тогда получим уравнение вида:

$$z' = f(z/x) $$

которое решается очевидным образом.