Уравнение для схемы автоматической регулировки усиления

[Kevsh]

Есть следующая схема цифровой обработки входного сигнала (автоматическая регулировка уровня):

Уравнение сигнала $A(n)$ можно записать в следующем виде:
$A(n+1)=A(n)(1-\alpha |x(n)|)+\alpha R$
Далее рассмотрим то же уравнение, но при условии $x(n)=cu(n)$, где $u(n)$ - единичный скачок и $c$ - его амплитуда:
$A(n+1)=A(n)(1-\alpha c)+\alpha R$
Вот дальше мне уже ничего не понятно. Написано "используя стандартное разностное уравнение, установившийся отклик контура может быть записан следующим образом", вот уравнение:
$A(n)=\frac{R}{c}(1-(1-\alpha c)^n)u(n)$
А в следующем уравнении вообще получают вот такой переход:
$A(t)=\frac{R}{c}(1-e^{-\frac{R}{\alpha c}}t)$

Как были получены последние два выражения мне совершенно не ясно. На постоянном входном сигнале выход данной схемы действительно стремится к $R$, а вот, допустим, на синусоидальном уже нет. Хотел это дело математически как-то проверить, а как это сделать не понимаю.

[Dedekind]

Kevsh в сообщении #1598604 писал(а):

Как были получены последние два выражения мне совершенно не ясно.

Предпоследний переход идет из теории рекуррентных уравнений. В данном случае линейных, с постоянными коэффициентами. Посмотрите тут https://en.wikipedia.org/wiki/Linear_re ... efficients .
Вам нужен вот этот раздел (приведение к однородному виду, поскольку сейчас Ваше уравнение неоднородно из-за $\alpha R$) https://en.wikipedia.org/wiki/Linear_re ... neous_form.
И вот этот раздел, чтобы затем решить получившееся однородное уравнение первого порядка https://en.wikipedia.org/wiki/Linear_re ... ts#Order_1.

Последнене выражение - это результат, который получается при замене дискретного разностного уравнения непрерывным дифференциальным. То есть, в исходном уравнении $A(n+1)=A(n)(1-\alpha c)+\alpha R$ нужно раскрыть скобки и заменить разность $A(n+1) - A(n)$ производной $A'(t)$, а $A(n)$ - просто функцией $A(t)$. Затем решить получившийся диффур. Можно ли из решения для разностного уравнения сразу перейти к решению для непрерывного - не знаю.

Kevsh в сообщении #1598604 писал(а):

На постоянном входном сигнале выход данной схемы действительно стремится к $R$, а вот, допустим, на синусоидальном уже нет.

Так это решение только для постоянного входа. Потому что

Kevsh в сообщении #1598604 писал(а):

Далее рассмотрим то же уравнение, но при условии $x(n)=cu(n)$, где $u(n)$ - единичный скачок и $c$ - его амплитуда

[Kevsh]

Dedekind
Вопрос возникает при прочтении вот этого куска:

Я правильно понимаю, что в последнем равенстве мы записали уравнение, где все $y$ пришли к установившемуся значению, записали обычное уравнение (которое было изначально), а затем вычли одно из другого, тем самым сократили $b$? Если не так, то я не понимаю, куда девается $b$ в последнем равенстве.
У меня есть уравнение следующего вида:
$y_{t}=y_{t-1}\cdot a+b$, где $y_t=A(n)$, $a=1-\alpha c$, $b=\alpha R$.
Его установившееся значение рассчитывается следующим образом:
$y^*=\frac{b}{1-a}=\frac{\alpha R}{1-1+\alpha c}=\frac{R}{c}$
Отлично, вроде сходится пока что. Сводим к однородному виду:
$y_t-y^*=(y_{t-1}-y^*)\cdot a$

$x_t=x_{t-1}\cdot a$
Смотрим, что пишут в статье:

Мы знаем $x_0$, вроде как:
$x_0=y_0-y^*=0-\frac{R}{c}=-\frac{R}{c}$
Получается, что
$x_t=-a^t\cdot \frac{R}{c}$
Возвращаемся к первоначальным обозначениям:
$y_t-y^*=-(1-\alpha c)^t\cdot\frac{R}{c}$

$A(n)=\frac{R}{c}-(1-\alpha c)^n\cdot \frac{R}{c}=\frac{R}{c}(1-(1-\alpha c)^n)$
Получилось, конечно, но где тут нужно было впихнуть $u(n)$, чтобы получилось как в книге - не понимаю.

Теперь попробуем вывести второе уравнение. Я уже с самого начала не понимаю, почему вообще можно сказать, что $A(n+1)-A(n)=A'$. Разве для того, чтобы посчитать производную, не нужно эту разность поделить на период дискретизации функции $A$ (то есть делить приращение функции на приращение времени)? Тем не менее, я всё равно попробовал это дело решить:
$\frac{dA(t)}{dt}=\alpha R-A(t)\alpha c$

$dA(t)=\alpha R dt- A(t)\alpha c dt$

$A(t)=\alpha Rt-\alpha C\int{A(t)dt}$

Дальше не понимаю, что делать и откуда вообще берётся экспонента. Если сказать, что $A(n+1)-A(n)=dA(t)$, то всё ещё печальнее:
$dA(t)=\alpha R - A(t)\alpha c$

-- 23.06.2023, 15:36 --

Кстати также интересно, что делать, если $x(n)$ - нелинейная функция. Везде смотрю - есть примеры решений только линейных рекуррентных уравнений.

[Dedekind]

Kevsh в сообщении #1598854 писал(а):

Я правильно понимаю, что в последнем равенстве мы записали уравнение, где все $y$ пришли к установившемуся значению, записали обычное уравнение (которое было изначально), а затем вычли одно из другого, тем самым сократили $b$?

Верно.

Kevsh в сообщении #1598854 писал(а):

Получилось, конечно, но где тут нужно было впихнуть $u(n)$, чтобы получилось как в книге - не понимаю.

"Впихнуть" нужно ровно туда, где оно и находится:) Это просто короткая форма записи, чтобы показать, что выражение верно только для неотрицательных $n$, а для отрицательных равно нулю. Эквивалентно, можно было бы записать более длинно:

$$A(n)=\frac{R}{c}(1-(1-\alpha c)^n), \,\, for \,\, n \ge0$$

$$A(n)=0, \,\, for \,\, n <0$$

Kevsh в сообщении #1598854 писал(а):

почему вообще можно сказать, что $A(n+1)-A(n)=A'$. Разве для того, чтобы посчитать производную, не нужно эту разность поделить на период дискретизации функции $A$ (то есть делить приращение функции на приращение времени)?

Нужно. Но этот период дискретизации равен $(n+1) - n = 1$.

Kevsh в сообщении #1598854 писал(а):

$\frac{dA(t)}{dt}=\alpha R-A(t)\alpha c$

Правильно. Теперь получилось линейное неоднородное обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка. А уж о таких уравнениях написаны не просто кучи, а огромные кучи литературы:) Так что Вы без труда сможете найти решение в любом учебнике по дифференциальным уравнениям (а так же на любом тематическом сайте). Ищите по ключевым словам, выделенным выше.

Kevsh в сообщении #1598854 писал(а):

Кстати также интересно, что делать, если $x(n)$ - нелинейная функция. Везде смотрю - есть примеры решений только линейных рекуррентных уравнений.

Как вариант - линеаризовать, например, разложением в ряд Тейлора. Точнее не скажу, я в эту тему не углублялся.
Например, поиск в гугле дает по первой же ссылке "Nonlinear Difference Equations: Theory with Applications to Social Science Models" by Hassan Sedaghat.
Еще могу посоветовать серию лекций https://www.youtube.com/playlist?list=P ... OqSqwzRdVV . Смотрел очень давно, там достаточно наглядно и понятно рассказаны основы динамических систем. С тех пор видео добавилось, может, Вы найдете то что Вам нужно.

-- 23.06.2023, 16:04 --

Kevsh
Глянул Ваши предыдущие темы. Вы там вполне уверенно рассуждали про интегралы, ряды Фурье и даже дифференциальные уравнения. В этом свете выглядит довольно странно, что Вы не можете решить простейший диффур

Kevsh в сообщении #1598854 писал(а):

$\frac{dA(t)}{dt}=\alpha R-A(t)\alpha c$

[Kevsh]

Dedekind
По поводу дифференциального уравнения - либо я как-то неверно его составил, либо в книге ошибка. Я решил его самостоятельно и проверил через сайт, который решает такие уравнения, получилось следующее:
$A(t)=\frac{R}{c}+C_1e^{-\alpha ct}$, где $C_1$ - константа.
При условии, что $A(0)=0$, получаем следующее решение:
$A(t)=\frac{R}{c}(1-e^{-\alpha ct})$
Промоделировал всё это дело - экспериментальные данные показывают, что моё решение больше похоже на правду. Видимо, реально ошибка.

[Dedekind]

Kevsh
Да, похоже что так.

[Kevsh]

Цитата:

Kevsh
Глянул Ваши предыдущие темы. Вы там вполне уверенно рассуждали про интегралы, ряды Фурье и даже дифференциальные уравнения. В этом свете выглядит довольно странно, что Вы не можете решить простейший диффур

Kevsh в сообщении #1598854 писал(а):

$\frac{dA(t)}{dt}=\alpha R-A(t)\alpha c$

Я изначально к дифференциальным уравнениям относился несерьёзно, моя учительница по математике в школе мне сказала, что это самая бесполезная тема, а я поверил. Сейчас мучаюсь, потому что когда эта тема была в университете, я даже лекции не слушал, тупо алгоритмы их решения заучил и сдал. После конца семестра планирую этот пробел закрыть

[Dedekind]

Kevsh в сообщении #1598897 писал(а):

моя учительница по математике в школе мне сказала, что это самая бесполезная тема

Хм, интересно:) Вообще-то сложно найти более полезный и широко распространенный математический инструмент. Может она имела в виду, что аналитические решения действительно мало где используются, все интересные вещи считаются численно в дискретном виде. Но все равно, как минимум для постановки задачи и понимания того, что вообще считается и какой ожидаемый результат - ознакомиться с непрерывными диффурами нужно.

Kevsh в сообщении #1598897 писал(а):

После конца семестра планирую этот пробел закрыть

Удачи в освоении!

[Kevsh]

По поводу реакции системы на синусоидальный сигнал: полученная выше функция $A(t)$ по сути является переходной функцией системы, то есть это её реакция на единичный скачок (если считать, что $c=1$). То есть у нас есть следующая переходная функция:
$H(t)=R(1-e^{\alpha t})$.
Производная от этой функции - это импульсная характеристика системы, то есть её реакция на единичный импульс:
$h(t)=\frac{dH(t)}{dt}$.
Свёртка входного сигнала и импульсной характеристики системы позволяет получить выходной сигнал (то есть реакцию системы на такое входное воздействие):
$y(t)=\int_0^t x(\tau)h(t-\tau)d\tau$
Не очень понимаю, где я не прав, но математический расчёт никак не похож на реальность. Вот такие расчёты я получил:

Вот, что получается при моделировании (сверху выходной сигнал, снизу входной):

Не очень понятно, почему результаты расходятся. Переходная функция точно верная...

[Dedekind]

Kevsh в сообщении #1599059 писал(а):

Производная от этой функции - это импульсная характеристика системы, то есть её реакция на единичный импульс:
$h(t)=\frac{dH(t)}{dt}$.

Это ж только для линейных систем. А у Вас нелинейная.