Внутренняя и внешняя область многоугольника

[мат-ламер]

Случайно открыл школьный учебник геометрии (авторы - Атанасян, Бутузов и др., гл.5, пар.1, п.39 - многоугольник). В начале идёт определение многоугольника. Уже первые слова меня смутили: "Рассмотрим фигуру ..." . А что понимается под фигурой? Точнее, какова размерность этой фигуры в данном параграфе (рассматриваются многоугольники)? Это одномерное множество, т.е. совокупность сторон, или двумерное, т.е. стороны вместе с внутренностью? Или это совокупность вершин и сторон, и тогда о размерности мы не говорим? Далее: "Любой многоугольник разделяет область на две части, одна из которых называется внутренней, а другая - внешней областью многоугольника". И тут у меня возникли вопросы. А как можно строго, но популярно, определить эти понятия - "внутренняя часть многоугольника", "внешняя часть многоугольника", "разделяет"? Вспомнил про теорему Жордана. Но там про жордановы кривые (частным случаем которых является многоугольник). Возможно для многоугольника всё будет гораздо проще? Как можно просто определить внутреннюю часть многоугольника? Можно для данной внутренней точки провести произвольный луч и подсчитать число пересечений со сторонами многоугольника. Но тогда нужно доказать корректность этого определения, то есть независимость от направления луча. Можно подсчитать индекс данной точки относительно всех сторон. То есть на какой угол обернётся луч, соединяющий нашу точку с граничной, при движении граничной точки по всей совокупность сторон многоугольника.

Но тут возникают вопросы, а надо ли нам вообще эти определения в школьном курсе геометрии? А как без этого определить площадь многоугольника? Там же надо знать, какая точка является внутренней, а какая внешней. И я чувствую, что определения, что я привёл, здесь не помогут. Можно пойти по простому пути. Как-то определить площадь треугольника. Как-то разбить многоугольник на треугольники. И определить площадь многоугольника как сумму площадей треугольников, на которые он разбивается. Дальше сказать, что независимость этой суммы от разбиения мы доказывать не будем. Посмотрел дальше в этом учебнике пункт 48 - понятие площади многоугольника. Я не нашёл там чёткого определения этой площади. Хотя аксиомы, которым должна удовлетворять эта площадь, там есть. Правда непонятно, можно ли, исходя из этих аксиом, однозначно и конструктивно определить и подсчитать эту площадь.

Однако, вопросы про площадь, это уже чуть другая тема. Пока вопрос про внутреннюю и внешнюю область многоугольника. Нуждаются ли эти вопросы в уточнении в школьном курсе геометрии?

[Ende]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Вопросы преподавания»
Причина переноса: тематика.

[Combat Zone]

В школьном курсе противопоказана излишняя формализация. Потому достаточно интуитивного понимания, о чем идет речь.
Даже в вузовских курсах не все понятия формализуют и не все определяют. Можете заморочиться формальным определением ряда. Не суммы ряда, а именно ряда.
Так что нет, не нуждаются. Напротив.

[ozheredov]

Combat Zone в сообщении #1598301 писал(а):

Можете заморочиться формальным определением ряда.

В смысле последовательности? Отображение множества натуральных чисел на множество каких-то чисел (действительных или комплексных), нет?

[мат-ламер]

мат-ламер в сообщении #1598297 писал(а):

И тут у меня возникли вопросы. А как можно строго, но популярно, определить эти понятия - "внутренняя часть многоугольника", "внешняя часть многоугольника", "разделяет"? Вспомнил про теорему Жордана. Но там про жордановы кривые (частным случаем которых является многоугольник). Возможно для многоугольника всё будет гораздо проще?

Открыл книгу Болтянского и Ефремовича "Наглядная топология". Там эти вопросы немного затронуты. Основная идея в следующем. Точки, которые не принадлежат сторонам многоугольника, разделяются на классы эквивалентности. Две точки принадлежат к одному и тому же классу, если их можно соединить ломанной, которая не пересекается со сторонами многоугольника. Доказывается, что в итоге у нас получается всего два класса эквивалентности.

[Mirage_Pick]

Вопрос нетривиальный, общий случай покрывается Jordan curve theorem. Хотя случай многоугольника и гораздо проще общего.

[Aritaborian]

(ozheredov)

ozheredov в сообщении #1598306 писал(а):

В смысле последовательности? Отображение множества натуральных чисел на множество каких-то чисел (действительных или комплексных), нет?

Посоедовательность это последовательность: функция натурального аргумента. А ряд это, видимо, что-то другое, иначе зачем нам этот термин, говорили бы о сумме последовательности. Но я тоже не совсем понимаю, чего хочет Combat Zone, утверждая, что ряд и сумма ряда — не одно и то же, и предлагая выписать различие. Можно, наверное, сказать так: ряд это выражение вида $a_1 + a_2 + a_3 + ...$, где многоточие означает, что количество членов бесконечно. Не знаю, правда, какой в этом толк.

[mihaild]

(Определение ряда)

Я даже тему создавал по этому поводу «Что такое ряд?». Получилось 5 страниц не самого полезного обсуждения.

[worm2]

В учебнике геометрии для 7 класса Колмогорова есть замечание: "В учебнике для VII класса не представляется возможным излагать строгую теорию измерения площадей".
Того самого Колмогорова (я здесь его рассматриваю исключительно как педагога), который ввёл в школьную геометрию термин "конгруэнтность" и ещё много всего (а хотел ввести ещё больше).
Если уж Колмогоров так написал, то кто мы такие, чтобы быть строже его?
Хотя, может быть, я плохо искал, и в учебнике для 11 класса Колмогоров всё-таки вводит строго понятие площади?

[Aritaborian]

worm2 в сообщении #1598325 писал(а):

Хотя, может быть, я плохо искал, и в учебнике для 11 класса Колмогоров всё-таки вводит строго понятие площади?

А учебник геометрии для одиннадцатого класса за авторством Колмогорова вообще существует в природе? Я сейчас нашёл только его алгебру для 10-11 классов; возм., вы её имели в виду.

[worm2]

Aritaborian в сообщении #1598328 писал(а):

А учебник геометрии для одиннадцатого класса за авторством Колмогорова вообще существует в природе?

Думаю, что не существует. Это я в шутку написал, хотя кто знает?

[мат-ламер]

мат-ламер в сообщении #1598297 писал(а):

Пока вопрос про внутреннюю и внешнюю область многоугольника. Нуждаются ли эти вопросы в уточнении в школьном курсе геометрии?

Если рассматривать не только стандартный школьный курс, то раскопал книгу Бутузова, Кадомцева и др. "Планиметрия. Пособие для углублённого изучения математики". И там этот вопрос рассматривается (гл.5,пар.1). Насколько строго, пока не заценил.

[Combat Zone]

(Оффтоп)

Aritaborian в сообщении #1598314 писал(а):

Но я тоже не совсем понимаю, чего хочет Combat Zone, утверждая, что ряд и сумма ряда — не одно и то же, и предлагая выписать различие.

Ничего не хочу. Мало какой учебник пытается хотя бы как-то формализовать определение именно ряда, а не суммы ряда. Потому так оно и живет, без формализации. И ничего. Хотя наверняка где-то его заполировали в духе Бурбаков.
Я всего лишь продвигаю тезис о том, что не стоит пытаться (особенно на ранних этапах) формализовать абсолютно каждое понятие, можно уподобиться сороконожке, которая разучилась ходить, когда ее спросили, как она это делает.

[svv]

(Оффтоп)

Aritaborian в сообщении #1598314 писал(а):

Но я тоже не совсем понимаю, чего хочет Combat Zone, утверждая, что ряд и сумма ряда — не одно и то же, и предлагая выписать различие.

У Винберга хорошо объясняется аналогичный момент (Начала алгебры, с.52):

Цитата:

Термин «линейная комбинация» на самом деле употребляется в двух смыслах: как указание действий, которые производятся над данными векторами, что равносильно заданию коэффициентов $\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n$, и как результат этих действий. В выражении «нетривиальная линейная комбинация данных векторов равна нулю» нетривиальность понимается в первом смысле, а равенство нулю — во втором.

«Ряд» в первом смысле способен ответить, помимо вопроса «какова твоя сумма?», как минимум на вопрос «каков твой $n$-й член?»
«Ряд» во втором смысле способен назвать только свою сумму, смутно припоминая, что, вроде бы, что-то там суммировалось, но без каких-либо деталей.

[EminentVictorians]

(Оффтоп)

svv в сообщении #1598413 писал(а):

У Винберга хорошо объясняется аналогичный момент

Лично я различаю линейную комбинацию и ее значение. Тогда, например, $2\upsilon + 3\nu$ и $3\nu + 2\upsilon$ будут разными линейными комбинациями, но принимающими одно и то же значение.

Далее можно взять это "множество $M$ линейных комбинаций" (в моем смысле) и рассмотреть на нем операцию "формальной суммы" (чисто синтаксическая операция, которая паре $\lambda_1 \upsilon_1 + ... + \lambda_n \upsilon_n$ и $\eta_1\nu_1 + ... + \eta_m\nu_m$ линейных комбинаций ставит в соответствие их "конкатенацию" $\lambda_1 \upsilon_1 + ... + \lambda_n \upsilon_n + \eta_1\nu_1 + ... + \eta_m\nu_m$). Если теперь рассмотреть оператор $F: M \to V$ (где $V$ - векторное пространство, из которого мы берем векторы для наших линейных комбинаций), берущий линейную комбинацию и возвращающий ее значение, то он окажется гомоморфизмом (моноидов). После этого можно называть линейными комбинациями смежные классы этого гомоморфизма (т.е. мы как бы факторизовали линейные комбинации (как записи) по перестановкам членов и добавлению нулевых векторов и векторов с нулевыми коэффициентами).

С рядами, к счастью, заниматься такой самодеятельностью не приходится - для них определение существует и очень комфортно для понимания (но почему-то в учебниках по матанализу действительно чувствуется какое-то табу на его использование)