Соотношение из векторного анализа

[intex2dx]

В книге "Сборник задач по электродинамике" (Батыгин В.В, Топтыгин И.Н.) нашёл такое интересное соотношение, которое предлагалось доказать и в дальнейшем использовалось в решениях других задач:

$$(\vec{\nabla} \cdot \vec{A}) \vec{B} = (\vec{A} \cdot \vec{\nabla}) \vec{B} + \vec{B} \cdot \operatorname{div}{\vec{A}} $$

Можете, пожалуйста, объяснить почему это верно, ведь, как мне кажется, слева стоит $\vec{B} \cdot \operatorname{div}{\vec{A}}$, поэтому получается, что тождество справедливо только если $(\vec{A} \cdot \vec{\nabla}) \vec{B} = 0$

[svv]

Выражение $(\vec{\nabla} \cdot \vec{A}) \vec{B}$ следовало бы пометить знаком «Осторожно! опасное обозначение».
Тут подразумевается принцип, по которому дифференциальный оператор действует на всё, что справа, в пределах монома. Таким образом, в отличие от первого и второго слагаемых правой части, в левой дифференцируется и $\vec{A}$, и $\vec{B}$.

Если знакомы с тензорными обозначениями, они внесут ясность:
$\nabla_i (A^i B^k) = A^i \nabla_i B^k + B^k \nabla_i A^i$
или
$(A^i B^k)_{;i} = A^i B^k{}_{;i} + A^i{}_{;i} B^k$
Если смущает различение верхних и нижних индексов, не обращайте на это внимания.

[intex2dx]

Спасибо за ответ