Градиент в сферических координатах

[intex2dx]

Добрый день. Прошу помочь с решением следующей задачи: необходимо показать, что $(\vec{l} \vec{\nabla}) \vec{r} = \vec{l}$ , используя сферические координаты. (здесь $\vec{l}$ - постоянный вектор)
Я пытался решать задачу следующим образом:

$$ (\vec{l} \vec{\nabla}) = l_r \frac{\partial }{\partial r} + \frac{l_{\Theta}}{r} \frac{\partial}{\partial \Theta} + \frac{l_{\phi}}{r \sin{\Theta}} \frac{\partial}{\partial \phi} $$

Тогда:

$$(\vec{l} \vec{\nabla}) \vec{r} = l_r \frac{\partial \vec{r}}{\partial r} + \frac{l_{\Theta}}{r} \frac{\partial \vec{r}}{\partial \Theta} + \frac{l_{\phi}}{r \sin{\Theta}} \frac{\partial \vec{r}}{\partial \phi} = \begin{pmatrix} l_r \sin{\Theta} \cos{\phi} + \frac{l_{\Theta}}{r} r \cos{\Theta} \cos{\phi} - \frac{l_{\phi}}{r \sin{\Theta}} r \sin{\Theta }\sin{\phi} \\ l_r \sin{\Theta} \sin{\phi} + \frac{l_{\Theta}}{r} r \cos{\Theta} \sin{\phi} + \frac{l_{\phi}}{r \sin{\Theta}} r \sin{\Theta} \cos{\phi} \\ l_r \cos{\Theta} - \frac{l_{\Theta}}{r} r \sin{\Theta}} \end{pmatrix} $$

Прошу подсказать, правильны ли мои рассуждения и если да, то как дальше доказать, что полученный вектор равен $\vec{l}$.

[мат-ламер]

intex2dx в сообщении #1597840 писал(а):

Тогда:

$$(\vec{l} \vec{\nabla}) \vec{r} = l_r \frac{\partial \vec{r}}{\partial r} + \frac{l_{\Theta}}{r} \frac{\partial \vec{r}}{\partial \Theta} + \frac{l_{\phi}}{r \sin{\Theta}} \frac{\partial \vec{r}}{\partial \phi} $$

И чему тут равны частные производные?

[intex2dx]

Не знаю, насколько странные у меня обозначения, но под частной производной вектор-функции нескольких переменных по одной из переменных я понимаю вектор, представляющий один из столбцов матрицы Якоби. В данном случае, например:

$$ \frac{\partial \vec{r} (r, \Theta, \varphi)}{\partial r} = \begin{pmatrix} \sin{\Theta} \cos{\varphi} \\ \sin{\Theta} \sin{\varphi} \\ \cos{\Theta} \end{pmatrix} $$

[Dedekind]

intex2dx
Это координаты радиус-вектора в декартовой системе. А Вам нужно записать их в сферической.

[intex2dx]

Кажется, разобрался, спасибо