2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Градиент в сферических координатах
Сообщение16.06.2023, 19:39 
Добрый день. Прошу помочь с решением следующей задачи: необходимо показать, что $(\vec{l} \vec{\nabla}) \vec{r} = \vec{l}$ , используя сферические координаты. (здесь $\vec{l}$ - постоянный вектор)
Я пытался решать задачу следующим образом:
$$ (\vec{l} \vec{\nabla}) = l_r \frac{\partial }{\partial r} + \frac{l_{\Theta}}{r} \frac{\partial}{\partial \Theta} + \frac{l_{\phi}}{r \sin{\Theta}} \frac{\partial}{\partial \phi} $$
Тогда:
$$(\vec{l} \vec{\nabla}) \vec{r} = l_r \frac{\partial \vec{r}}{\partial r} + \frac{l_{\Theta}}{r} \frac{\partial \vec{r}}{\partial \Theta} + \frac{l_{\phi}}{r \sin{\Theta}} \frac{\partial \vec{r}}{\partial \phi}  = \begin{pmatrix} l_r \sin{\Theta} \cos{\phi} + \frac{l_{\Theta}}{r} r \cos{\Theta} \cos{\phi} - \frac{l_{\phi}}{r \sin{\Theta}} r \sin{\Theta }\sin{\phi} \\ l_r \sin{\Theta} \sin{\phi} + \frac{l_{\Theta}}{r} r \cos{\Theta} \sin{\phi} + \frac{l_{\phi}}{r \sin{\Theta}} r \sin{\Theta} \cos{\phi} \\ l_r \cos{\Theta} - \frac{l_{\Theta}}{r} r \sin{\Theta}} \end{pmatrix}   $$

Прошу подсказать, правильны ли мои рассуждения и если да, то как дальше доказать, что полученный вектор равен $\vec{l}$.

 
 
 
 Re: Градиент в сферических координатах
Сообщение16.06.2023, 19:55 
Аватара пользователя
intex2dx в сообщении #1597840 писал(а):
Тогда:
$$(\vec{l} \vec{\nabla}) \vec{r} = l_r \frac{\partial \vec{r}}{\partial r} + \frac{l_{\Theta}}{r} \frac{\partial \vec{r}}{\partial \Theta} + \frac{l_{\phi}}{r \sin{\Theta}} \frac{\partial \vec{r}}{\partial \phi}  $$

И чему тут равны частные производные?

 
 
 
 Re: Градиент в сферических координатах
Сообщение16.06.2023, 20:22 
Не знаю, насколько странные у меня обозначения, но под частной производной вектор-функции нескольких переменных по одной из переменных я понимаю вектор, представляющий один из столбцов матрицы Якоби. В данном случае, например:
$$ \frac{\partial \vec{r} (r, \Theta, \varphi)}{\partial r} = \begin{pmatrix} \sin{\Theta} \cos{\varphi} \\ \sin{\Theta} \sin{\varphi} \\ \cos{\Theta}  \end{pmatrix} $$

 
 
 
 Re: Градиент в сферических координатах
Сообщение16.06.2023, 20:26 
intex2dx
Это координаты радиус-вектора в декартовой системе. А Вам нужно записать их в сферической.

 
 
 
 Re: Градиент в сферических координатах
Сообщение16.06.2023, 20:41 
Кажется, разобрался, спасибо

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group