Равносильное преобразование логарифма

[Xo4y3HaTb]

Задача из ДВИ в МГУ. Подскажите, пожалуйста, каким образом сделано следующее преобразование?
$(2\log^2_2x-2\log_2x+1)^{x^2-2x}\leqslant1\Leftrightarrow (2\log^2_2x-2\log_2x)(x^2-2x)\leqslant0$ Перед этим оговаривалось, что первое выражение в скобках больше нуля. Это понятно, но не понятно 1) куда делась единица в скобках 2) куда делась единица в правой части неравенства 3) каким образом показатель в неравенстве перешёл в произведение. Это явно как-то связано со св-вом $\log_ab^c=c\log_ab$, но вот как к этому пришли не могу понять.

[mihaild]

В зависимости от знака $b$, при каких условиях $a^b$ меньше единицы?

[ozheredov]

Xo4y3HaTb
1. Взяли логарифм от обеих частей.
2. Есть т.н. логарифмическое неравенство, связывающее логарифм и его аргумент

[Xo4y3HaTb]

mihaild в сообщении #1597703 писал(а):

В зависимости от знака $b$, при каких условиях $a^b$ меньше единицы?

Если $0<a<1$, то $a^b<1$ при $b>0$, если $a>1$, то $a^b<1$ при $b<0$ . Но не совсем понимаю связь вашего вопроса с моей проблемой. ((

ozheredov в сообщении #1597704 писал(а):

1. Взяли логарифм от обеих частей.
2. Есть т.н. логарифмическое неравенство, связывающее логарифм и его аргумент

Да точно, теперь понятно для чего проверяли положительность выражения в скобках, чтоб была возможность прологарифмировать.

Правда у меня теперь новая проблема, прологарифмировал обе части по основанию 2. Получаем: $(2\log^2_2x-2\log_2x+1)^{x^2-2x}\leqslant1\Leftrightarrow (x^2-2x)\log_2(2\log^2_2x-2\log_2x+1)\leqslant0$ Теперь понятно как в правой части из 1 получился 0, но вот как работать с логарифмом в левой части? Св-во про сумму логарифмов я знаю, но тут ведь логарифм суммы.

[mihaild]

Xo4y3HaTb в сообщении #1597711 писал(а):

Если $0<a<1$, то $a^b<1$ при $b>0$, если $a>1$, то $a^b<1$ при $b<0$ . Но не совсем понимаю связь вашего вопроса с моей проблемой

Правильно.
Если $a^b < 1$, то $b < 0 \leftrightarrow a < 1$. А теперь перенесите во втором неравенстве $a$ в левую часть и получившиеся два неравенства перемножьте в обоих вариантах (когда оба выполнены и когда оба не выполнены, т.е. выполнены противоположные им).

[Xo4y3HaTb]

mihaild в сообщении #1597712 писал(а):

А теперь перенесите во втором неравенстве $a$ в левую часть и получившиеся два неравенства перемножьте в обоих вариантах (когда оба выполнены и когда оба не выполнены, т.е. выполнены противоположные им).

Не совсем понял (совсем не понял) о каких неравенствах и про какой перенос и умножение вы написали.

mihaild в сообщении #1597712 писал(а):

Если $a^b < 1$, то $b < 0 \leftrightarrow a > 1$

Но зато понял как использовать упомянутую взаимосвязь.
$(2\log^2_2x-2\log_2x+1)^{x^2-2x}\leqslant1 Пусть $a=(2\log^2_2x-2\log_2x+1), b={x^2-2x}$ Имеем два случая 1) $a^b$\leqslant1$$ когда $b\leqslant0, a\geqslant1$, 2) $a^b$\leqslant1$$ когда $b$\geqslant$0, a$\leqslant$1$. Далее решаю два случая (системы) в каждой по 3 неравенства (помимо упомянутых ещё $x>0$). Ответ получил правильный (ура!) но вот нет полного ощущения завершённости задачи, т.к. так и не понял вот этого перехода, которым пользуются в решении: $(2\log^2_2x-2\log_2x+1)^{x^2-2x}\leqslant1\Leftrightarrow (2\log^2_2x-2\log_2x)(x^2-2x)\leqslant0$

[mihaild]

Xo4y3HaTb в сообщении #1597718 писал(а):

Не совсем понял (совсем не понял) о каких неравенствах и про какой перенос и умножение вы написали.

Ну подумайте, в моём сообщении не так много неравенств.
(они конечно не в ту сторону и формулировки с опечатками, но понять должно быть можно)
Вы знаете, что либо $\begin{cases} b < 0 \\ a - 1 > 0\end{cases}$, либо $\begin{cases} b > 0 \\ a - 1 < 0\end{cases}$. В каждой системе перемножьте неравенства.
(ну и случай $a^b = 1$ не забудьте рассмотреть)

[Xo4y3HaTb]

mihaild в сообщении #1597719 писал(а):

В каждой системе перемножьте неравенства.

Не знал, что неравенства так можно перемножать (В школьном учебнике об этом не говорилось, а сам я не додумался, к сожалению). Но теперь ясно) Если в одном неравенстве знак > 0, в другом знак < 0, то при произведении ставлю знак <0, если, например, в обоих неравенствах стоит < 0, то при произведении ставлю > 0. Спасибо большое за помощь! Надеюсь теперь логарифмы пойдут как по маслу xD

[mihaild]

Xo4y3HaTb в сообщении #1597791 писал(а):

Не знал, что неравенства так можно перемножать (В школьном учебнике об этом не говорилось

А что за учебник? Это одно из ключевых свойств, которое не так-то просто правильно сформулировать.
В данном случае, впрочем, можно не перемножать неравенство непосредственно, а, например, в первом случае умножить обе части первого неравенства на положительное число $a - 1$, а во втором обе части второго неравенства на $b$.

Xo4y3HaTb в сообщении #1597791 писал(а):

Если в одном неравенстве знак > 0, в другом знак < 0, то при произведении ставлю знак <0, если, например, в обоих неравенствах стоит < 0, то при произведении ставлю > 0.

Да, это просто классическое "минус на минус дает плюс".

[Xo4y3HaTb]

mihaild в сообщении #1597793 писал(а):

А что за учебник?
В данном случае, впрочем, можно не перемножать неравенство непосредственно, а, например, в первом случае умножить обе части первого неравенства на положительное число $a - 1$, а во втором обе части второго неравенства на $b$.

Я алгебру по Мордковичу изучал. Я, вероятно, был не прав написав, что не описано такое св-во в учебнике. Вроде следующая теорема подходит под мой случай: Если обе части неравенства $f(x)>g(x)$ умножить на одно и то же выражение $h(x)$, положительное при всех $x$ из области определения (области допустимых значений переменной) неравенства $f(x)>g(x)$, оставив при этом знак неравенства без изменения, то получится неравенство $h(x)f(x)>h(x)g(x)$, равносильное данному. Ну и аналогично если $h(x)<0$
Но у меня возник новый вопрос по этой задаче. А для чего тогда в решении изначально замечали, что выражение в скобках положительное? Я думал это нужно проверять, чтобы прологарифмировать (т.к. аргумент логарифма должен быть больше 0), но если они решали "нашим" способом, то основание $a$ степени $a^b$ по определению должно быть положительным, верно? Т.е. если бы мы проверили выражение в скобках и оно оказалось бы отрицательным, то можно заключить что неравенство не имеет смысла?

[mihaild]

Xo4y3HaTb в сообщении #1597799 писал(а):

А для чего тогда в решении изначально замечали, что выражение в скобках положительное?

Насколько я помню школьную методологию - для определения ОДЗ. Т.е. мы проверяем, в каком случае выражение определено (а для этого нужно чтобы основание степени было положительным), и дальше решаем неравенство на соответствующем подмножестве. Если выражение в скобках где-то отрицательно, то такие значения переменной в решение автоматически не попадут.

[Xo4y3HaTb]

mihaild
Понял, спасибо!